Замечания и литература

Локализованный характер Чженя из § 18.1 был развит в работе [Baum - Fulton - MacPherson 1] на основе более ранней граф-конструкции Макферсона (ср. пример 18.1.6). Тот факт, что определяет элемент бивариантной группы является новым. Это усиливает свойства, установленные в упомянутой работе, а также упрощает доказательства; кроме того, доказательство годится для любого базисного поля. Топологическое построение локальных классов Чженя со значениями в было дано в статье [Iversen 3]. Важный прецедент был дан в работах [Atiyah - Hirzebruch 2, 3]. Вариант теоремы Римана — Роха для особых кривых

можно найти в книге [Serre 5], а для особых поверхностей — в статье [Zariski 3].

Теорема Римана — Роха 18.2 была дана в работе [Baum - Fulton - MacPherson 1], за исключением утверждения (3). Первая часть (3) есть аналог теоремы Римана — Роха для л.п.п. морфизмов, доказанной ранее в [SGA 6]. В варианте из [SGA 6] значения принимались в градуированной -теории. Используя деформацию к нормальному расслоению, доказательство из [SGA 6] можно упростить в духе гл. 15. Вторая половина 18.2(3) была сформулирована в работе [Baum - Fulton - MacPherson 1] в виде предположения и доказана Вердье [Verdier 5]. Доказательства в § 18.2 следуют этим источникам с некоторыми модификациями, нужными для непроективного случая.

Обобщение на произвольные алгебраические схемы (§ 18.3) следует статье [Fulton - Gillet 1].

В комплексном случае также хотелось бы иметь теорему Римана — Роха для трансформации из алгебраической геометрии в топологию. Наиболее естественна трансформация из алгебраической -теории в топологическую -теорию. В неособом случае это было сделано в работе [Atiyah - Hirzebruch 3], а в квазипроективном случае — в работе [Baum - Fulton - MacPherson 2]. Используя методы § 18.3, эти конструкции можно распространить на произвольные алгебраические -схемы (ср. пример 18.3.18). Композиция с гомологическим характером Чженя дает гомоморфизмы

обладающие свойствами из теоремы 18.3.

Для произвольных комплексно-аналитических пространств такие гомоморфизмы еще не построены. Для комплексных многообразий в статье [O’Brian - Toledo - Tong 3] построен гомоморфизм со значениями в и доказана формула ГРР в этом контексте.

Формула Римана — Роха из примера 18.3.12 ранее не появлялась, хотя некоторые ее частные случаи были известны из теоремы Римана-Роха для особых многообразий. Она возникла в результате совместных обсуждений с Макферсоном, Пескином и Шпиро о связи теоремы Римана — Роха с гипотезами локальной алгебры. Свидетельства такой связи были продемонстрированы в работе [Peskine - Szpiro 2].