В.6. Нормальные конусы и раздутие

Литература к этому разделу [EGA], II.8.

В.6.1. Пусть X — замкнутая подсхема схемы заданная пучком идеалов .X Нормальный конус к это конус над X, определенный градуированным пучком -алгебр

Если морфизм, индуцированный морфизм из то имеется каноническое замкнутое вложение

В самом деле, имеется каноническая сюръекция пучка на пучок идеалов подсхемы которая дает сюръекцию

В.6.2. Если вложение регулярное коразмерности то конус является векторным расслоением ранга d над X и обозначается также через (ср. § В.7.1). Пучок сечений расслоения есть

В частности, если вкладывает X как дивизор Картье в то

В.6.3. Раздутие схемы вдоль подсхемы X (обозначается это проективный конус над пучка -алгебр

Пусть проекция в Канонический обратимый пучок (линейное расслоение) на проективном конусе изоморфен пучку идеалов подсхемы которая поэтому является дивизором Картье на и называется исключительным дивизором. Пусть ; по построению это проективный конус пучка так что

есть проективный нормальный конус к Из этого описания видно, что

где Пусть проекция в Если вложение регулярно, то каноническое вложение нормальных конусов есть вложение универсального линейного расслоения где

Кроме того, индуцирует изоморфизм между Если многообразие и замкнутая подсхема, то также многообразие. Это следует из того, что для идеала в области целостности А кольцо также область целостности.

В.6.5. Если X нигде не плотно в то морфизм бирационал Действительно, дивизор Картье на поэтому никакая неприводимая компонента схемы не может содержаться в По предположению X также не содержит компонент схемы Поэтому все неприводимые компоненты схем пересекают открытые множества соответственно, которые изоморфны при морфизме .

В.6.6. Если имеет чистую размерность к, то также имеет чистую размерность к для любой замкнутой подсхемы Чтобы увидеть это, рассмотрим вложение X в которое является композицией заданного вложения и вложения как слоя над точкой Нормальный конус к X в равен где Так как X нигде не плотно в бирационально эквивалентно схеме и поэтому имеет чистую размерность к Исключительный дивизор есть дивизор Картье на поэтому он имеет чистую размерность k. Конус С — открытая подсхема в откуда все следует.

В.6.7. Если схема плоская над неособой кривой то раздутие также плоское над для любого самом деле, все пучки идеалов в свободны от кручения над (ср. пример так что плоско над Локальные кольца являются локализациями и тоже плоские над

В.6.8. Если X — дивизор Картье на У, то Вообще, пусть подсхема задается пучком идеалов и пусть эффективный дивизор Картье на У, заданный пучком идеалов Если подсхема задается пучком идеалов то существует канонический изоморфизм между над У, такой, что исключительный дивизор в соответствует дивизору где исключительный дивизор в

В.6.9. Пусть замкнутое вложение, морфизм, - индуцированный морфизм. Тогда существует замкнутое вложение

построенное, как в В.6.1. Если -индуцированный морфизм из то где — исключительные дивизоры.

В частности, если замкнутые вложения, то существует каноническое вложение в при котором исключительный дивизор раздутия ограничивается до исключительного дивизора

Рассмотрим случай, когда и регулярные вложения (ср. В. 7). Пусть исключительный дивизор в проекция, Тогда и -остаточная схема к т. е. пучки идеалов подсхем связаны соотношением

Кроме того, каноническое вложение регулярно и имеет нормальное расслоение

где проекция исключительный дивизор на

Для доказательства можно считать аффинной схемой с координатным кольцом подсхема задается регулярной последовательностью в регулярной последовательностью Если однородные координаты на то (лемма А.6.1) как подсхема в задается уравнениями Аналогично подсхема задается уравнениями где образы Пусть открытое аффинное множество в где Тк ; координатное кольцо имеет вид

задается в идеалом порожденным Если порождается одним и является идеалом подсхемы Пусть тогда Уравнение определяет дивизор на а идеал подсхему поэтому остаточна к Так как последовательность регулярна в кольце при вложение регулярно. Нужная связь между нормальными расслоениями следует из аналогичного соотношения для пучков идеалов (ср. пример 9.2.2).