3.3. Рациональная эквивалентность на расслоениях

Пусть векторное расслоение ранга над схемой X с проекцией Пусть ассоциированное проективное расслоение, проекция из или каноническое линейное расслоение над

Теорема 3.3. (а) Плоский обратный образ

является изоморфизмом для всех k.

(b) Каждый элемент однозначно представляется в виде

где Иначе говоря, имеются канонические изоморфизмы

Доказательство. Сюръективность была доказана в § 1.9. Пусть канонический гомоморфизм из определенный

При проверке сюръективности можно считать тривиальным, применяя нётерову индукцию, как при доказательстве предложения 1.9. Индукция по рангу позволяет свести все к проверке сюръективности когда известна сюръективность где прямая сумма и тривиального линейного расслоения.

Пусть проекция. Имеем коммутативную диаграмму

которая отождествляет с проективным пополнением при помощи «бесконечно удаленной гиперплоскости» (см. дополнение В.5). Согласно предложению 1.8, строка в следующей коммутативной диаграмме точна:

Лемма 3.3. Для любого имеем

Доказательство. Достаточно проверить это для где V — подмногообразие в Так как обладает сечением, обращающимся в нуль в точности на (дополнение В.5), тот факт, что следует прямо из определения классов

Чженя.

Если теперь можно записать для некоторого Тогда лежит в ядре Так как пользуясь предположением индукции о сюръективности получаем

для некоторых Так как формула проекции позволяет переписать правую часть как

Применяя теперь лемму, мы получаем

что и доказывает сюръективность

Чтобы показать однозначность представления в (b), предположим, что есть нетривиальное соотношение

Пусть к — наибольшее целое число, такое, что Тогда по предложению Противоречие.

Проверим, наконец, инъективность Пусть как выше. Если , то так что

где снова используется лемма 3.3. Но это противоречит утверждению об однозначности (b) для расслоения

Определение 3.3. Пусть нулевое сечение векторного расслоения это морфизм такой, что В качестве следствия теоремы 3.3(a) мы можем определить гомоморфизмы Гизина

где по формуле Этот гомоморфизм является важной операцией пересечения: для любого подмногообразия в (или -цикла на независимо от того, как оно пересекает нулевое сечение, имеется корректно определенный класс циклов Согласно сюръективности гомоморфизм определяется тем, что для любого тем, что 5 сохраняет рациональную эквивалентность.

Эта способность к пересечению с нулевыми сечениями векторных расслоений послужит основой для построения общих гомоморфизмов Гизина и произведений-пересечений в дальнейших главах.

Отметим, что теорема 3.3 была доказана без использования высших классов Чженя, построенных в § 3.2. Использовались лишь классы Чженя линейных расслоений и предложение 3.1(a).

Следующее предложение дает более конструктивную формулу для используя высшие классы Чженя.

Предложение 3.3. Пусть элемент из ограничение которого на равно Тогда

где проекция на универсальное факторрасслоение ранга

Если можно взять в виде замыкание Заметим, что композиция дает сечение обращающееся в нуль в точности на нулевом сечении

Доказательство. Пусть вложение вложение Мы должны показать, что

для всех По теореме 3.3(b) и лемме 3.3 можно написать

для некоторых классов Так как требуемая формула следует из двух формул:

Докажем (i). Так как факторрасслоение расслоения по формула суммы Уитни дает

Согласно предложению 3.1(a), (d),

Докажем теперь Так как имеет сечение, нигде не обращающееся в нуль, т. е. тривиальное подрасслоение, в силу формулы Уитни. Поэтому

Пример 3.3.1. Когда линейное расслоение над X, нулевое сечение вкладывает X в качестве дивизора Картье в В этом случае гомоморфизм Гизина из определения 3.3 согласуется с гомоморфизмом Гизина введенным в § 2.6. (Достаточно заметить, что гомоморфизм из § 2.6 переводит

Пример 3.3.2. Если нулевое сечение расслоения ранга над X, то

для любого а (Если надо взять в предложении 3.3, где сечение, индуцированное т. е. Это частный случай формулы избыточного пересечения (§ 6.3).

Пример 3.3.3. Пусть имеет ранг универсальное факторрасслоение ранга расслоения над Тогда для любого а

(Рассуждаем, как при доказательстве (i) в предложении 3.3 или как при доказательстве предложения

Пример 3.3.4. Пусть X — неособое подмногообразие неособого n-мерного многообразия с нормальным расслоенцем Пусть раздутие вдоль исключительный дивизор, :

— проекция. Пусть обозначает -кратное самопересечение

построенное в § 2.4 как класс в Так как ограничивается до на X, то

Отсюда следует, что в

где полный класс Сегре расслоения

Левая часть этой формулы была использована Сегре для построения инвариантов (или «ковариантов») вложения Например, если вложено в как диагональ, этот класс обратен к полному классу Чженя расслоения Сегре обращает их, в основном как в § 3.2, чтобы дать новую и внутреннюю конструкцию канонических классов многообразия X, построенных ранее Севери, Сегре, Егером и Тоддом и известных сейчас как классы Чженя (с точностью до знака).

Как следует из гл. 2, классы имеют смысл для

произвольной замкнутой подсхемы X произвольного многообразия Если X регулярно вложено в они являются классами Сегре нормального расслоения. В общем случае они являются лишь элементами группы но не операторами; они будут играть важную роль в нашем построении и вычислении произведений-пересечений.

Отметим также, что, если конструкцию Сегре применить к случаю или куда X вкладывается как нулевое сечение, получаются классы Сегре произвольного расслоения

Пример 3.3.5. Пусть векторное расслоение ранга над схемой Пусть многообразие полных флагов в с проекцией и универсальным флагом расслоений над строится при помощи конструкции расщепления из § 3.2. Пусть Тогда каждый элемент из записывается как многочлен от с коэффициентами из такое представление однозначно по модулю соотношений

где есть элементарная симметрическая функция от (Надо разложить на рассуждать по индукции; детали и обобщение на произвольные флаги см. в работе [Grothendieck 1], § 3. Пример 3.2.17 также обобщается на расслоения флагов (ср. [Ilori - Ingleton - Lascu 1]).

Пример 3.3.6. Утверждение примера 2.6.6 о том, что отображение Гизина

не зависит от также является следствием теоремы 3.3(b) и тривиальности расслоения