10.3. Алгебраическая эквивалентность

В этом разделе пространства параметров будут неособыми многообразиями, обозначает точку, рациональную над основным полем. Если X — схема и а есть -цикл на где то для любой точки и класс построенный в § 10.1, лежит в

Определение 10.3. Пусть X — схема; -цикл а на X, или класс а алгебраически эквивалентен нулю (записывается а если существуют неособое многообразие цикл а и точки такие, что

Два цикла алгебраически эквивалентны, если их разность алгебраически эквивалентна нулю (ср. пример 10.3.2). Согласно следующему предложению, циклы, алгебраически эквивалентные нулю, образуют подгруппу в Группа классов алгебраической эквивалентности обозначается

Предложение 10.3. Циклы, алгебраически эквивалентные нулю, образуют подгруппу в группе всех циклов на схеме. Эта подгруппа сохраняется следующими базисными операциями:

(a) собственным прямым образом (§ 1.4);

(b) плоским обратным образом (§ 1.7);

(c) тонким гомоморфизмом Гизина (§ 6.2);

(d) операциями классов Чженя (§ 3.2).

Поэтому группы обладают теми же формальными свойствами, что и

Доказательство. В первом утверждении пусть два -цикла на X, которые алгебраически эквивалентны нулю. Пусть как в определении, и для -цикла на Положим

это -цикл на Достаточно показать, что

Это непосредственно следует из тождества

для любых В свою очередь это тождество следует из функториальности тонких отображений Гизина (теорема 6.5). Действительно, пусть (соотв. и) обозначает морфизм точки в (соотв. тогда есть композиция ( так что

Сохранение алгебраической эквивалентности операциями следует из соответствующих утверждений предложения

Пример 10.3.1. Если неособо, классы из алгебраически эквивалентные нулю, образуют идеал. Поэтому коммутативное градуированное кольцо с единицей. Если морфизм, является В Умодулем; если X также неособо, гомоморфизм градуированных колец.

Пример 10.3.2. Пусть основное поле алгебраически замкнуто. Два -цикла а, а на схеме X алгебраически эквивалентны в смысле определения 10.3 тогда и только тогда, когда существуют неособое многообразие размерности -мерные подмногообразия плоские над и точки такие, что

Можно дополнительно предполагать, что неособая проективная кривая. (Пусть алгебраически эквивалентны. Соединяя точки пространства параметров цепочками кривых, построим сначала неособых аффинных кривых подмногообразия доминирующие и точки такие, что

Здесь используется тот факт, что если морфизм неособых многообразий, цикл на то, согласно теореме Если взять теперь замыкания где проективные неособые пополнения мы получаем то же равенство с проективными Положив

получаем требуемое равенство с (ср. [Baldassarri 1], VI.7). Чтобы получить достаточно, применяя индукцию, показать, что любые две точки на произведении двух кривых можно соединить неприводимой кривой. Простое доказательство Розенлихта этого последнего факта см. в работе : лемма 5.)

Пример 10.3.3. Два положительных цикла алгебраически эквивалентны тогда и только тогда, когда существует положительный цикл на X, такой, что являются членами неприводимого семейства (многообразия Чжоу) положительных циклов. (Надо использовать пример 10.3.2 и рассуждать, как в примере 1.6.2.)

Пример 10.3.4. Пусть как в предложении 1.8; тогда точна последовательность

Отсюда и из предложения 10.3 следует, что различные общие вычисления для (например, из § 3.3, 6.7) без изменения переносятся на 5.