14.2. Формулы Гизина

Существует много формул для прямого образа классов на грассманианах или расслоениях флагов. Здесь мы докажем две такие формулы, нужные для дальнейшего.

Пусть флаг векторных подрасслоений над X, т. е. цепь

подрасслоений. Пусть ассоциированное расслоение флагов, слой которого над точкой состоит из флагов подпространств пространства

где На имеется универсальный флаг Индуктивное построение будет дано в процессе доказательства следующего предложения. Пусть

Предложение 14.2.1. Пусть векторные расслоения над Пусть целые числа. Тогда для любого

где

Доказательство. Расслоение строится индуктивно. Если то универсальное линейное расслоение. Предположим, что

уже построено вместе с проекцией и универсальным флагом Тогда можно построить как проективное расслоение над

Пусть для и определим так, чтобы было универсальным подрасслоением Мы утверждаем, что

для Из точной последовательности, определяющей и формулы суммы Уитни получаем

где универсальное факторрасслоение ранга над проективным расслоением над Согласно формуле проекции,

Так как равно 0, если и равно если (пример 3.3.3), отсюда следует (i). Общая формула получается из (i) индукцией по

Следствие 14.2. Пусть целые числа и а Тогда

Доказательство. Применим предложение 14.2.1 к каждому одночлену в разложении определителей.

Пусть векторное расслоение ранга над расслоение Грассмана -мерных плоскостей в проекция в Пусть универсальное подрасслоение расслоения ранга

Предложение 14.2.2. Пусть векторное расслоение ранга над Тогда для любого а

Доказательство. (Другое доказательство см. в примере 14.2.1.) По принципу расщепления (замечание 3.2.2) можно считать, что имеет флаг подрасслоений

где Как обычно, можно предполагать, что многообразие. Существует канонический морфизм

Над открытым множеством, состоящим из таких -мерных пространств в слоях что имеет размерность для всех является изоморфизмом. Композиция есть проекция на Так как бирационально,

Поэтому

Если корни Чженя для то

Из леммы A.9.1(ii) следует, что

Так как для всех из следствия 14.2 получаем

По лемме А.9. l(i)

что завершает доказательство.

Пример Если универсальное факторрасслоение над то

(Если Если левая часть равна из соображений размерности. Остается доказать что пжос) Тут можно считать, что расслоение тривиально, точка, и пользоваться индукцией по пример 3.3.3.)

(b) Из (а) следует другое доказательство предложения 14.2.2. В самом деле, так как

можно применить (а) ко всем членам, встречающимся в разложении определителя.

Пример 14.2.2. В статье [Jozefiak - Lascoux - Pragacz 1] доказано следующее обобщение предложения 14.2.2. Для любых целых

где