А.6. Регулярные последовательности

Определение А.6. Последовательность элементов кольца А называется регулярной последовательностью, если идеал порожденный собственный в А и образ не является делителем нуля для Пусть сечение заданное Если регулярная последовательность, то регулярное сечение верно и обратное, если А — локальное кольцо и с, принадлежат максимальному идеалу А (лемма А.5.2). В этом локальном случае мы получаем, что регулярность последовательности не зависит от порядка (ср. пример А.6.1).

Существует канонический эпиморфизм градуированных колец

который переводит в образ а, в

Если не является делителем нуля в А, то

является подкольцом полного кольца частных кольца А, и существует канонический эпиморфизм колец

который переводит идеал порождается элементами где

Лемма A.6.1. Если регулярная последовательность, то изоморфизмы и последовательность регулярна в

Доказательство (из [Davis 1]). Покажем сначала индукцией по что изоморфизм и регулярная последовательность. Если то деление на дает равенство

для некоторого Так как регулярная последовательность, из этого равенства мы получаем, что все коэффициенты делятся на так что Аналогично, если , коэффициенты должны обращаться в нуль, так что не делитель нуля.

При рассмотрим композицию

где Так как последовательность регулярна в А. Согласно случаю элемент не делит нуль и порождает ядро первого гомоморфизма; по индукции регулярная последовательность, порождающая ядро второго гомоморфизма. Поэтому последовательность регулярна и порождает ядро композиции, как и утверждается.

Чтобы показать, что а — изоморфизм, достаточно проверить, что если однородный многочлен в то Но если то Так как изоморфизм, т. е. все коэффициенты лежат в I, что и требовалось доказать.

Замечание А.6. Микали ([Micali 1]) показал (ср. [Bourbaki 1]), что

где порождается Это также дает изоморфность а.

Лемма Пусть А есть d-мерное локальное кольцо с максимальным идеалом Следующие утверждения эквивалентны:

(ii) m имеет d образующих;

(iii) m порождается регулярной последовательностью (из d элементов),

(iv) как градуированные -алгебры.

Доказательство. По лемме Накаямы есть минимум числа образующих Пусть минимальная система образующих отобразим на отправляя Это дает замкнутое вложение проективного конуса (см. дополнение В.5). Но размерность всегда не больше : если цепь подмногообразий, то раздутия многообразий V, вдоль дают цепь подмногообразий в X, пересекающих дивизор Поэтому и равенство имеет место тогда и только тогда, когда Последнее выполняется тогда, когда отображение является изоморфизмом в больших степенях; но, так как кольцо многочленов не содержит делителей нуля, ядро должно быть нулевым. Отсюда мы получаем эквивалентность

Из того факта, что область целостности, легко следует, что и А — область целостности. Если то из убывающей индукции по d следует, что имеет размерность и удовлетворяет условию В частности, простой идеал, так что последовательность регулярна и По лемме (См. [Serre 4], IV. D, где приведено чисто алгебраическое доказательство леммы

Кольцо, удовлетворяющее условиям леммы называется регулярным локальным кольцом.

Пример с. 102). Пусть Тогда регулярная последовательность, но не регулярна.

(b) Пусть Тогда регулярное сечение но никакая перестановка не является регулярной последовательностью.

Заметим, что последовательность в кольце А определяет регулярное сечение модуля тогда и только тогда, когда является регулярной последовательностью в для каждого простого идеала , содержащего