14.1. Локализованный старший класс Чженя

Пусть векторное расслоение ранга над чисто -мерной схемой сечение со схемой нулей Мы построим класс

называемый локализованным старшим классом Чженя расслоения относительно образ которого в равен В случае когда 5 — регулярное сечение, т. е. функций, локально определяющих образуют регулярную последовательность, будет циклом определенным естественной схемной структурой на Рассмотрим расслоенный квадрат

где нулевое сечение, вложение. Так как регулярное вложение коразмерности конструкция § 6.1 дает тонкое произведение-пересечение Положим

Предложение 14.1. .

(b) Каждая неприводимая компонента имеет коразмерность в Если то положительный цикл с носителем .

(c) Если регулярное сечение, то

(d) Пусть морфизм, индуцированное сечение расслоения индуцированный морфизм из в .

(i) Если плоский, то .

(ii) Если морфизм локально полного пересечения, то .

(iii) Если собственный, а многообразия, то

Доказательство, (а) следует из формулы самопересечения:

по теореме следствию 6.5 и следствию 6.3 соответственно. Утверждения частные случаи предложения и (b). В ситуации (d) существует расслоенная диаграмма

из которой следует, что (теорема 6.2(c)). Поэтому (d) вытекает из соответствующих свойств произведений-пересечений: теоремы 6.2 (b), теорем 6.4 и 6.6, теоремы 6.2(a) соответственно.

Пример 14.1.1. Если X — схема Коэна — Маколея и то 5 регулярно и (предложение 7.1).

Пример можно определить также как используя на этот раз нулевое сечение для вложения (теорема 6.4).

Пример 14.1.3. Пусть где сечение Ей и Тогда образ равен (См. пример 17.4.8 по поводу обобщения.)

Пример 14.1.4. Остаточная формула для старших классов Чженя. Пусть сечение векторного расслоения ранга над чисто -мерной схемой Предположим, что содержит эффективный дивизор Картье на Тогда существует сечение расслоения которое при каноническом гомоморфизме в

переходит в s. (Локально функции, задающие делятся на уравнение для частные и задают Далее, остаточная схема к и

В частности, если регулярное сечение, то так что мы получаем явную формулу для (Применим теорему 9.2 в ситуации

что остаточный класс, следует из примера 9.2.2.)

Пример 14.1.5. Эйлеровы характеристики и числа Мил нора. Пусть X — неособое многообразие размерности над алгебраически замкнутым полем К, а собственный морфизм на неособую кривую. Индуцированное отображение касательных расслоений определяет сечение расслоения Предположим, что морфизм гладкий всюду, кроме слоев над конечным множеством в С. Локализованный старший класс Чженя класс -циклов на множестве особенностей

Предположим, что кривая С полна. Тогда

где общий слой обозначает эйлерову характеристику (степень старшего класса Чженя касательного расслоения). (Имеем

Так как

для общего получаем требуемую формулу.)

(b) В комплексном случае эту формулу можно переписать так:

Таким образом, измеряет изменение эйлеровой характеристики, вносимое особенностями . (Выбираем малые диски вокруг и применяем последовательность Майера — Виеториса к покрытию X, образованному

(c) В комплексном случае часть расположенная на имеет степень Вообще заменим С окрестностью точки на которой тривиально. Тогда локализованный старший класс Чженя кокасательного расслоения X, и его степень равна (Можно доказать это, используя направленные наружу векторные поля, как в Заметим, что если С — неполная кривая, глобальные классы Чженя могут обращаться в нуль, тогда как локальные классы Чженя все еще несут полезную информацию.

(d) Пусть изолированная критическая точка морфизма Тогда вклад равен где

Частные производные здесь определяются в терминах локальных координат в точке и локальной координаты для С в точке Число называется числом Милнора, ср. [Milnor 3]. Например, в точности тогда, когда гессиан неособый в точке Общее обсуждение чисел Милнора см. в [Qrlik 1].

(e) (ср. [Iversen 2]). Пусть особенности содержат эффективный дивизор сечение расслоения индуцированное (пример 14.1.4). Тогда

(Это следует из примера 14.1.4 и того факта, что для ) Поэтому

Если изолированная точка в то Иверсен называет ее умеренной критической точкой. В этом случае вклад равен Здесь то же, что и в наибольший общий делитель частных производных. Иверсен дает явные формулы для этих чисел в случае, когда X — поверхность в нулевой характеристике.