1.2. Порядки нулей и полюсов

Пусть X — многообразие, его подмногообразие коразмерности Локальное кольцо — одномерная локальная область. Для определим порядок функции вдоль V, который будет гомоморфизмом, т. е.

Любую функцию можно записать как дробь . В силу должно выполняться равенство

Поэтому достаточно определить для

Если X неособо вдоль V, т. е. А — кольцо дискретного нормирования, то где единица в образующая максимального идеала кольца — целое число. В этом случае можно положить Если X — кривая над алгебраически замкнутым полем К,

это определение совпадает со следующим:

Последнее определение годится и для особых кривых, но не годится для более высоких размерностей, так как тогда бесконечномерно над К. Корректное общее определение при таково:

где обозначает длину заключенного в скобки -модуля. В дополнении А. 3 доказано, что это задает гомоморфизм из

Для фиксированного лишь для конечного числа подмногообразий коразмерности 1 выполняется соотношение (дополнение В.4.3).

Пример 1.2.1. Пусть многочлены, задающие плоские кривые причем неприводим. Пусть рациональная функция на заданная классом вычетов многочлена Если то

Пример 1.2.2. Пусть многочлены задают плоские кривые над алгебраически замкнутым полем К. Пусть результант по переменной у. Пусть

0. Тогда

Если точки пересечения кривых имеют различные х-координаты, индексы пересечения задаются порядками нулей результанта. Это одно из классических определений индекса пересечения плоских кривых (ср. [Walker 1]). (Равенство следует из примера и того, что кольцо будучи артиновым, является прямым произведением своих локализаций

Пример 1.2.3. Пусть X — многообразие, нормализация в его поле функций. Пусть тогда

где сумма берется по всем подмногообразиям лежащим над обозначает степень расширения полей. (Это следует примера Поэтому более известная функция порядка за нормальных многообразиях определяет функцию порядка на произвольных многообразиях.

Пример 1.2.4. Если то

Это неравенство превращается в равенство, если X неособо вдоль Но если и X особо вдоль V, неравенство строгое.

Пример 1.2.5. Пусть многочлены задают плоские кривые в аффинной плоскости над алгебраически замкнутым полем

где кольцо формальных степенных рядов (см. [Zariski - Samuel 1], VII, VIII, по поводу свойств формальных и сходящихся степенных рядов).

(b) Если имеет лишь одну ветвь в параметризация этой ветви степенными рядами, то равно порядку нуля ряда при вкладывается в так, что коядро конечномерно; применим леммы

Если то в пп. (а) и (Ь) можно воспользоваться сходящимися степенными рядами вместо формальных степенных рядов.

(d) Определения и свойства кратностей пересечения из примера 1.1 распространяются на ростки аналитических кривых и на формальный случай, т. е. на произвольные из

Если и если не имеют других пересечений в -окрестности точки то при достаточно малом кратность равна числу пересечений кривых внутри -окрестности точки (Разлагая на множители в можно считать, что имеет одну ветвь; используем тогда (b).)

(f) (правило Цейтена). Пусть (соотв. корни многочлена (соотв. в некотором расширении кольца Тогда

Здесь для некоторого Если оси выбраны так, что не имеют общих точек, лежащих на оси у, отличных от то справа стоит результант

Более подробно о кратностях пересечения плоских кривых см. пример 12.4.2, [Segre С. 1], [Zeuthen 3], [Walker 1] и [Fulton 1].