А.7. Глубина

Определение А.7. Глубиной локального кольца А называется максимальная длина регулярной последовательности в его максимальном идеале. Каждая максимальная регулярная последовательность в максимальном идеале имеет элементов (особенно элементарное доказательство этого факта см. в работе Глубина кольца А не превышает его размерности; если называется кольцом Коэна — Маколея. Каждое регулярное локальное кольцо является кольцом Коэна — Маколея (лемма А.6.2). Следующая лемма дает полезный критерий регулярности последовательности.

Лемма Пусть А — локальное кольцо с максимальным идеалом где свободный -модуль ранга d. Тогда

Если А — кольцо Коэна — Маколея (например; регулярное кольцо), то равенство в выполняется тогда и только тогда, когда -регулярно.

Когомологические доказательства этих фактов см. в книгах [Serre 4], IV.B, или [Matsumura 1], гл. 6. Более элементарное рассуждение содержится в книге [Kunz 1], VI.

Нётерово кольцо А называется кольцом Коэна — Маколея, если все его локализации являются кольцами Коэна — Маколея. Следующий результат принадлежит Хохстеру. За доказательством мы отсылаем к статьям [Hochster 1], теорема 3.1, или [Laksov 1], ср. также [Arbarello - Cornalba - Griffiths - Harris 1] или [De Concini - Eisenbud - Procesi 1]; в последней статье обсуждаются аналоги для симметрических и кососимметрических матриц.

Лемма Пусть А — кольцо многочленов от переменных под полем К. Пусть последовательность целых чисел и 1 — идеал в А, порожденный всеми -минорами матриц

для Предположим, что Тогда нормольная область Коэна — Маколея размерности