А.9. Детерминантальные тождества

Пусть даны формальные степенные ряды с коэффициентами в некотором коммутативном кольце. Пусть разбиение, Положим (ср. обозначения гл. 14)

это определитель -матрицы, составленной из Если обозначим ее просто

Лемма А.9.1. Пусть к целые числа. Пусть где повторено раз. Пусть переменные Положим

и пусть Тогда

Доказательство. Для (i) заметим, что т. е. элементарных действий над строками видно, что

Отсюда по индукции следует (i). Обе части равенства в (ii) однородны степени по переменным При подстановке обе части дают Поэтому достаточно показать, что левая часть обращается в нуль при в силу симметрии можно считать Но тогда это ясно из (i), так как в этом случае — многочлен степени меньше и верхняя строка матрицы, определитель которой дает обращается в нуль.

Лемма А.9.2. Пусть ряды связаны тождеством Для любого разбиения X с сопряженным разбиением X (ср. § 14.5)

Доказательство. Пусть Заметим, что Поскольку сопряжены, множества целых чисел

образуют дополнительные множества в множестве

Действительно, первое множество возрастающее, второе — убывающее. Если член первого множества равен члену второго, то Однако в силу сопряженности, если (соотв. ), то (соотв. ).

Пусть Рассмотрим произведение двух -матриц:

Определитель левой матрицы равен определитель правой равен 1. Перемножая эти матрицы, мы получаем матрицу

где для строка содержит 1 на месте и нули на остальных. Определитель этой матрицы с точностью до знака равен определителю -матрицы, полученной выбрасыванием строк и столбцов, содержащих эти единицы. Используя дополнительность двух множеств целых чисел, полученных в начале доказательства, мы получаем матрицу

Знак перед этим определителем равен где

и где Приравнивая определитель произведения и произведение определителей и заменяя приведенную выше матрицу ее отражением относительно диагонали, мы получаем

где Это завершает доказательство.

Пусть коммутирующие переменные, и пусть

Для разбиения X положим

Лемма А.9.3 (Якоби, Труди). В этих обозначениях

Доказательство. Подставим в тождество Умножая на получаем

для всех В силу соотношения между и с для любого с

Рекурсивные уравнения одни и те же. Разрешая их по индукции, мы получаем для всех и 1 универсальные многочлены от переменных такие, что

Для каждого неотрицательного целого числа это дает матричные тождества

(Значок указывает, как формируется элемент матрицы.) Доказательство завершается взятием определителей в этих двух равенствах. Надо лишь заметить, что так как треугольная матрица с единицами на диагонали. Заметим также, что определитель (Вандермонда)

отличен от нуля.

Лемма Пусть -разбиение. Тогда для всех от

где сумма берется по всем

Доказательство. Так как не меняется, если к добавлять нули, можно считать, что для всех которые входят в доказываемое тождество, и Поэтому можно предполагать, что где такое же, как в лемме Пусть и положим

С помощью леммы увеличивая от, мы сводим все к доказательству тождества

где сумма берется по всем

Для любых целых чисел пусть определитель, образованный, как в (i), но с использованием целых чисел и переменных Тогда, разлагая по верхней строке, получаем

Поэтому

Предполагая установленным результат для и - 1, из этого разложения мы получаем

где сумма берется по всем

Чтобы завершить доказательство, мы должны проверить, что сумма всех членов с равна нулю. Вместе с каждым встречается также и

по свойству антисимметричности определителя. Аналогично если

Правило Литтлвуда — Ричардсона (ср. § 14.4)

для умножения произвольных -функций было дано в работе [Littlewood - Richardson 1], хотя полные доказательства появились лишь недавно. Можно рекомендовать книгу [Macdonald 3], 1.9, по поводу доказательства, близкого к оригинальному. Другие доказательства можно найти в статьях [Schiitzenberger 1] или [Akin - Buchs-baum - Weyman 1].

Пример A.9.1 (ср. [Lascoux 7], [Macdonald 3], с. 44). Для разбиений мы пишем если для Положим

Пусть коммутирующие переменные. Тогда

(Согласно лемме Знаменатель равен Разложим числитель и вычислим коэффициенты

Пусть Тогда

Пример A.9.2 (cp. [Macdonald 3], c. 50-52). Пусть переменные. Тогда

где сумма берется по всем разбиениям а X сопряжено к

где сумма берется по тем же X с

где сумма берется по разбиениям такое же, как и выше, как в предыдущем примере.

Пример А.9.3. (а) Пусть неотрицательные целые числа. Тогда

(Умножим на и используем элементарные преобразования строк.)

(b) Если то обозначения)

Пример А.9.4 (ср. [Harris - Tu 1]). Пусть целые числа с для всех Тогда

Пример А.9.5. Пусть Тогда

где результант (Это следует из леммы А.9.1 (ii).)