17.4. Ориентации

Некоторые морфизмы определяют элементы

А называемые каноническими ориентациями.

(1) Если плоский морфизм относительной размерности то определяется как обратный образ. Если морфизм, то индуцированный морфизм плоский и для мы полагаем

где плоский обратный образ из § 1.7.

(2) Если регулярное вложение коразмерности то

А определяется как тонкий гомоморфизм Гизина. Если построим класс как в § 6.2, и положим

(3) Вообще, пусть морфизм с разложением на регулярное вложение коразмерности и гладкий морфизм относительной размерности Обозначим через коразмерность и положим

Здесь как в как в (1), так что произведение лежит в Эквивалентно, если то где тонкий гомоморфизм Гизина § 6.6.

Из предложения 6.6 следует, что не зависит от разложения и что определения (1) и (3) совпадают, когда одновременно плоский и л.п.п. Если оба плоские морфизмы, или оба регулярные вложения, или оба л.п.п. морфизмы с согласованными разложениями, как в доказательстве предложения то

Предложение 17.4.1 (формула избыточного пересечения). Пусть имеется расслоенный квадрат

с л.п.п. морфизмами коразмерностей Тогда

где - избыточное нормальное расслоение.

Если замкнутое вложение, а нормальные расслоения к то Общее определение и доказательство даны в предложении

Некоторые дополнительные согласования ориентаций приведены в примере 17.4.6.

Предложение 17.4.2. Пусть гладкий морфизм относительной размерности и пусть его класс ориентации. Тогда для любого морфизма и любого целого числа имеет место изоморфизм

Доказательство. Образуем расслоенную диаграмму

где диагональное вложение, а первая и вторая проекции.

Определим обратный гомоморфизм

полагая Заметим, что регулярные вложения коразмерности Проверка того, что и умножение на взаимно обратные гомоморфизмы, делается так. Пусть тогда

Аналогично, если с то

Следствие 17.4 (двойственность Пуанкаре). Пусть -гладкое чисто n-мерное многообразие.

(а) Канонические гомоморфизмы

являются изоморфизмами.

(b) Кольцевая структура на совпадает с определенной на в § 8.3. Вообще, —морфизм, то класс совпадает с построенным в §8.3.

Доказательство, Применим предложение 17.4.2 к и отождествим согласно предложению 17.3.1. Пункт следует из построения а как в § 8.3, где — график и построения обратного изоморфизма в предложении

Бивариантный класс с определяет гомоморфизмы ГЫзина

и, если собственный морфизм,

по формулам заметим, что так что Гомоморфизмы Гизина обладают формальными свойствами, перечисленными в работе [Fulton - MacPherson 3], § 2.5.

Если плоский или л.п.п. морфизм и [Я — его каноническая ориентация, мы пишем вместо вместо

Пример 17.4.1. Рассмотрим ситуацию предложения 17.4.1.

(a) Если собственный, то для любого а

(b) Если собственный, то для любого

(Эти формулы, как и другие аналогичные формулы для морфизмов, имеющих класс ориентации, формально получаются из предложения 17.4.1 с помощью аксиом бивариантной теории (ср. [Fulton - MacPherson 3], § 9.2.1).)

Пример 17.4.2. Пусть гомоморфизм векторных расслоений над схемой Пусть Пусть множество точек, где Тогда существует класс

действие которого на задается формулой

построенным в § 14.4. (Если -сечение расслоения ранга определим

где нулевое сечение. Тогда если такие же, как в § 14.4, положим Заметим, что теорема непосредственно следует из этого описания. Прямой образ класса при вложении это класс

Пример 17.4.3. Пусть схема X чисто -мерна и морфизм, причем гладкая и чисто -мерная. Тогда существует класс соответствующий элементу из при изоморфизмах предложений и 17.3.1.

(a) Если плоский или л.п.п. морфизм, то этот класс совпадает с построенным в (1) и (3).

(b) Пусть морфизмы равноразмерных многообразий, гладкие. Тогда .

(c) Гомоморфизм Гизина определяемый классом совпадает с определенным в гл. 8.

Пример 17.4.4. Предположим, что основное поле имеет нулевую характеристику. Пусть морфизмы и Тогда

В частности, для произвольной схемы X является коммутативным кольцом. (Используем разрешение особенностей, пример 17.3.2 и следствие 17.4.) Мы не умеем доказывать эту коммутативность без разрешения особенностей.

Пример Пусть дана диаграмма

где плоский морфизм относительной размерности гладкий морфизм относительной размерности собственный морфизм и Тогда эта диаграмма определяет класс с В самом деле,

так что и мы можем положить

Более явно, если с действует на как композиция

где штрих обозначает расслоенное произведение на X над

Если две такие диаграммы над одной базой X определяют классы то расслоенное произведение этих диаграмм определяет класс (Это формально получается из бивариантных аксиом в силу перестановочности классов ориентации [5] с другими бивариантными классами.)

(b) Пусть векторные расслоения рангов над схемой X,

универсальный гомоморфизм расслоений над Z (§ 14.4). Тогда подконус в плоский над Гомоморфизм расслоений определяет сечение Класс, построенный по этим данным согласно предписаниям вложение, совпадает с многочленом

Аналогично, если флаг в детерминантальное множество определяет классы, заданные многочленами из § 14.3. (Эти утверждения быстро следуют из их построений, пример 17.4.2. Такие классы использовались в работе [Fulton - Lazarsfeld 3], § Зс.)

Пример 17.4.6. Пусть морфизмы. Предположим, что они имеют согласованные разложения на замкнутые вложения и гладкие морфизмы, как в § 6.6, и Предположим, что каждый из либо плоский, либо л.п.п. морфизм. Тогда (Возможны следующие случаи:

(i) , а потому и h л.п.п.

(ii) а потому и плоские.

(iii) л.п.п., g плоский. (Если -регулярное вложение, то найдется окрестность на которой морфизм, согласно

(iv) л.п.п., g и h плоские (предложение 6.5(a)).

(v) g л.п.п., плоские. (Заменяя открытой подсхемой, сделаем плоским, согласно и 2.2.13.)

(vi) плоский, Согласно следствию 4 из работы также должен быть

Существует ли класс морфизмов, содержащий плоские и л.п.п. морфизмы, замкнутый относительно композиции, с ориентациями согласованными с композицией? (См. пример 18.3.17.)

Пример 17.4.7. Пусть эффективные дивизоры на схеме — их сумма и вложения. Тогда

(Если морфизм и цикл на то

по предложению 2.3(b) и следствию 2.4.2. Здесь обратные образы псевдодивизоров на

Пример 17.4.8. Локализованные старшие классы Чженя мультипликативны в следующем смысле. Пусть сечения векторных расслоений ранга над Они определяют бивариантные классы

(см. примеры 17.3.1 и 17.4.2). Пусть Тогда

Пример 17.4.9. Канонический гомоморфизм

не обязан быть инъективным. (Надо взять в качестве X особую кривую и использовать пример 17.3.2.) В частности, если X — квазипроективная схема, канонический гомоморфизм

может быть не инъективным; предел берется по всем неособое квазипроективное многообразие (ср. пример 8.3.13). Мамфорд ([Mumford 7]) рассматривает образ теории как теорию когомологий с некоторыми конкретными достоинствами первой теории и формальными свойствами второй.

Пример 17.4.10. Пусть фактормногообразие, как в примере 8.3.12. Тогда канонический гомоморфизм

является изоморфизмом колец. Это показывает, в частности, что структура кольца на не зависит от и определяет кольцевой гомоморфизм обратного образа для произвольных морфизмов таких многообразий. (Пусть изоморфизм из примера 1.7.6. Если с определим с как с Для морфизма многообразий пусть конечный сюръективный морфизм многообразий и -такой морфизм, что Тогда

Обратно, если дан с эта формула определяет класс в не зависящий от выбора Используя теорему 17.1, можно показать, что эта конструкция определяет элемент с из

Аналогично, для любого

Это можно использовать для того, чтобы показать независимость тонких произведений-пересечений (и индексов пересечения) примера 8.3.12 от изоморфизма