7.2. Критерий единичной кратности

Пусть собственная компонента пересечения на Пусть -идеал в А, порожденный идеалом подсхемы и максимальный идеал в А.

Предложение 7.2. Предположим, что -многообразие. Следующие утверждения эквивалентны:

(ii) А — регулярное локальное кольцо и

Напомним, что -мерное локальное кольцо регулярно, если его максимальный идеал порождается d образующими, которые в этом случае обязательно образуют регулярную последовательность (лемма А.6.2). Так как всегда имеет d образующих, регулярность А следует из равенства

Доказательство. Импликация является частным случаем предложения 7.1, так как Импликация

доказывается индукцией по d. Схемы можно заменять их открытыми подсхемами, пересекающими соответственно. Поэтому можно считать, что есть единственная неприводимая компонента что аффинно и что X задается в регулярной последовательностью. Если то Коэффициент при равен и он равен 1, только если

Пусть и импликация верна для меньших d. Предположим сначала, что кольцо А нормально. Пусть дивизор на определенный первым уравнением, задающим Образуем расслоенную диаграмму

Так как то так что дивизор Картье на По функториальности (теорема 6.5)

В частности, имеет лишь одну неприводимую компоненту, которая содержит и эта компонента входит в цикл с коэффициентом 1. Иными словами, лишь один минимальный простой идеал содержит Так как А — нормальное кольцо, является единственным простым идеалом, ассоциированным с (лемма так что идеал -примарен. Поскольку отсюда следует, что Поэтому также многообразие и локальное кольцо на По индукции проверяется, что образы элементов образуют регулярную последовательность, порождающую так что образуют регулярную последовательность, порождающую

В общем случае остается показать, что А нормально. Пусть нормализация V в его поле функций. Пусть индуцированный морфизм из По теореме 6.2(a), так как собственный и то

Если

Поэтому Локальное кольцо А подмногообразия в V есть целое замыкание кольца А в его поле частных. Так как импликация справедлива для V, то порождает максимальный идеал кольца в частности, Так как каноническое отображение из является изоморфизмом. Поэтому Так как А конечно над А, по лемме Накаямы мы заключаем, что поэтому А нормально.

Пример 7.2.1. В предложении 7.2 было бы недостаточно предположить, что V — равноразмерная схема. Например, пусть Тогда собственно пересекаются в начале координат и кратность пересечения равна 1, хотя локальное кольцо схемы V в начале координат не регулярно. Однако если для всех ассоциированных простых идеалов имеем то снова кратность пересечения равна 1 тогда и только тогда, когда А регулярно и (Так как (пример 6.2.1), А имеет только один минимальный простой идеал т. е. Поскольку элементы вне предполагаются неделителями нуля, и применимо предложение 7.2.)

Нагата распространил это утверждение на локальные кольца, пополнение которых несмешано (ср. [Nagata 2], 40.6, и [Huneke 1]). Он же привел пример нётеровой локальной области, которая не регулярна, хотя имеет кратность 1 (ср. [Nagata 2], дополнение А.1).