Замечания и литература

Динамическая природа кратностей пересечений была очезидной во всех классических обсуждениях этого предмета. Определение Севери этих кратностей было динамическим, реализующим

нетрансвереальные или несобственные пересечения как пределы трансверсальных пересечений. Севери ([Severi 7]) отмечает, что эти конструкции предвосхитили их использование в топологии. Севери пользовался конической конструкцией примера 11.4.1 для такой динамической интерпретации. Самюэль ([Samuel 3]) и Чжоу ([Chow 1]) используют эту конструкцию для доказательства леммы о сдвиге, на которой они основывали свои построения кольца пересечений («кольца Чжоу») для гладкого проективного многообразия. Аналогичные доказательства лемм о сдвиге давались в работах [Chevalley 2], [Samuel 5] и [Roberts 1]. В статье [Murre 1] и [de Boer 1] использовались аналогичные конические конструкции, когда предписывалась кратность пересечения каждой связной компоненте где имеют дополнительные размерности на неособом проективном многообразии. Севери ([Severi 15]) сравнивает статический и динамический подходы к кратностям пересечения.

Первые три раздела этой главы представляют опубликованную ([Lazarsfeld 1]) и неопубликованную работы Лазарсфельда, который начал анализировать и корректировать идеи Севери ([Severi 15]). Пределы пересечений изучались также в работе [Segre В.З], где дана формула из примера 11.3.2 для удивительно нетривиального случая вариации кривых на поверхности.

Вейль [Weil 2], дополнение II, дал аксиоматическую характеризацию индексов пересечения. Его аксиомы включают аксиому ассоциативности и более сильную форму формулы проекции, чем нужно для примера 11.4.4. В.-Л. Чжоу (не опубликовано) разработал свою теорию пересечений, основанную на сильной лемме о сдвиге, как в примере 11.4.2.