Замечания и литература

Источник и основная литература этой главы — книга Там же читатель найдет примеры, показывающие, что бивариантные теории полезны не только в теории пересечений и алгебраической геометрии.

Первоначально теория когомологий была развита для квазипроективных схем (ср. пример 8.3.13), и этого было достаточно для формулировки и распространения теоремы Гротендика — Римана — Роха на особые квазипроективные схемы ([Baum - Fulton - MacPherson 1]). Однако в этой теории отсутствовали многие формальные свойства, такие, как существование прямого образа Гизина для собственных л.п.п. морфизмов. Более грубая теория когомологий, связанная с операциональной бивариантной теорией (§ 17.3), обладает этими формальными свойствами и применима к произвольным алгебраическим схемам. По поводу недавних применений см. [Mumford 7].

Желание иметь пару теорий, «гомологическую» и «когомологиче-кую», было навеяно топологией. Некоторое время многие топологи рассматривали когомологии как более важный, чем гомологии, объект при изучении особых пространств, точно так же, как алгебраические геометры рассматривали «дивизоры Картье» как замену понятия

визор Вейля». После того как Сулливан, Макферсон и другие открыли, что важные инварианты особых пространств могут лежать в гомологиях, была достигнута более сбалансированная точка зрения.

Совсем недавно мы поняли, что даже обе эти теории недостаточно богаты для изучения пространств с особенностями. Бивариантная теория является одним из обобщений гомологий — когомологий, особенно полезным своими функториальными и формальными свойствами. Другое обобщение — гомологии пересечения — было развито Горески и Макферсоном ([Goresky - MacPherson 1, 2]). Оно ведет к глубокому проникновению в геометрию пространств с особенностями. Однако функториальные свойства гомологий пересечения и место алгебраических циклов в этой теории еще недостаточно ясны.

У меня были полезные беседы с Габбером и Клейманом о некоторых темах этой главы, в частности по поводу так и нерешенного вопроса о том, какие отображения имеют ориентацию в теории рациональной эквивалентности (ср. пример 17.4.6). Клейману ([Kleiman 12]) принадлежат некоторые вариации бивариантной теории и обобщение теоремы об остаточном пересечении (ср. пример 17.6.2).

Доказательство предложения 17.5 исправляет ошибку, допущенную в книге [Fulton - MacPherson 3], 9.2.2.