Глава 20. Обобщения
Резюме
Многое из теории пересечений, развитой в этой книге, справедливо для более общих схем, чем алгебраические схемы над полем. Удобной категорией, достаточной для многих применений, является категория схем X конечного типа над регулярной базисной схемой 
Пользуясь подходящим определением относительной размерности, можно ввести понятие 
-цикла на схеме X и градуированную группу 
классов рациональной эквивалентности, обладающую многими функториальными свойствами из гл. 1-6. Теорема Римана — Роха также выполняется; в частности,
Главный ингредиент, отсутствующий в такой общности, — это внешнее произведение
Однако если база 
одномерна, такое произведение существует. В частности, если схема X гладкая над 
обладает естественной структурой кольца.
Пусть 
где 
кольцо дискретного нормирования, и X — схема над 
с общим слоем 
и специальным слоем 
Тогда имеются отображения специализации
согласованные со всеми нашими операциями пересечения. Если X гладко над 5, то 
гомоморфизм колец.
Для собственных пересечений на регулярной схеме Серр определил индексы пересечений с помощью функторов 
Для гладких схем над полем эти индексы совпадают с введенными в § 8.2. На самом деле даже при несобственных пересечениях конструкция Римана — Роха показывает, как получать классы пересечения из функторов 
по крайней мере с рациональными коэффициентами.
Хотя высшая 
-теория выходит за рамки этой работы, мы завершаем главу кратким обсуждением формулы Блоха
