20.2. Схемы над дедекиндовой областью

В этом разделе одномерная регулярная схема. Важнейший случай — это когда дедекиндова область. Все схемы отделимы и конечного типа над Любое многообразие (целостная схема) V либо плоско над либо отображается в замкнутую точку Пусть схемы над подмногообразия (замкнутые целостные подсхемы). Определим цикл произведения на формулой

Если то является -циклом.

Предложение 20.2 Это произведение пропускается через рациональную эквивалентность, определяя внешнее произведение

Доказательство. Если цикл а рационально эквивалентен на и подмногообразие, мы должны показать, что а. Если плоско над индуцированное отображение плоское и

так как рациональная эквивалентность сохраняется обратным образом плоского морфизма. Если отображается в точку в 5, то пусть вложение. Тогда

поскольку сохраняет рациональную эквивалентность, как и внешнее произведение над (§ 1.10).

Из построения видно, что это произведение обладает обычными свойствами коммутативности и ассоциативности внешнего произведения. Для схем, гладких над материал гл. 8 переносится без изменений. Если гладкая схема относительной размерности над положим

Имеется внутреннее умножение

определяемое формулой где диагональное регулярное вложение коразмерности Это превращает в коммутативное градуированное кольцо с единицей Для морфизма группа является модулем над и

где график В частности, если X — также гладкая -схема, формула определяет обратный образ

превращая А в контравариантный функтор из гладких -схем в кольца.

Пример 20.2.1. Тонкие произведения. Пусть морфизм в гладкую -схему относительной размерности -заданные морфизмы. Если а то определено тонкое произведение

где Например, если носители циклов на. то класс из который переходит в в Основные свойства даны в предложении 8.1.1.

Пример 20.2.2. Кратности пересечения. Пусть подмногообразия в схеме гладкой над 5, и собственная компонента т. е.

Тогда коэффициент при положительное целое число, обозначаемое Результаты гл. 7 переносятся на эти кратности пересечения. (Если не плоские над 5, никакая компонента не может быть собственной в этом смысле. В остальных случаях положительный цикл на и пересечение с диагональю производится как в § 8.2.)

Пример 20.2.3. Для любой -схемы X канонический гомоморфизм

является изоморфизмом. (Элемент а определяет гомоморфизмы

Ясно, что этот Оператор переводит [5] в а. Чтобы показать, что эти отображения — изоморфизмы, достаточно показать, что элемент с из равен нулю, если Если V — целостная схема и морфизм плоский, то по свойству из § 17.1. Если V отображается в точку вложение в 5, то с действует на через но так что согласно предложению 17.3.1.)

Если гладкая -схема относительной размерности то (пример 20.1.1)