1.10. Внешние произведения

Для алгебраических схем над полем обозначает декартово (расслоенное) произведение над основным полем. Внешнее произведение

определяется формулой для подмногообразий и продолжается по билинейности на произвольные циклы. (Если основное поле не является алгебраически замкнутым, то может не быть многообразием; тогда цикл определяется предписанием из § 1.5.)

Предложение 1.10. (а) Если а или то а

(Ь) Пусть .

(i) Если собственные морфизмы, то собственный морфизм и

для любых циклов а на на

(ii) Если плоские морфизмы относительных размерностей тип, то плоский морфизм относительной размерности и

для любых циклов а на на

Доказательство. Для доказательства разложим на Поэтому можно считать или тождественным морфизмом, и тогда (i) получается из предложения 1.7. Докажем Если а то мы можем считать, что где подмногообразие в и даже само по . В этом случае где проекция, и утверждение теперь превращается в частный случай теоремы 1.7.

Отсюда следует, что существуют внешние произведения

удовлетворяющие формулам из предложения 1.10 (Ь).

Пример 1.10.1. Внешнее произведение ассоциативно:

Пример 1.10.2. Если X обладает клеточным разложением, как в примере 1.9.1, то для любой схемы отображения

сюръективны.