1.9. Аффинные расслоения

Схема снабженная морфизмом называется аффинным расслоением ранга над X, если X обладает открытым покрытием и существуют изоморфизмы

при которых ограничение на совпадает с проекцией на

Предложение 1.9. Пусть аффинное расслоение ранга Тогда отображение плоского обратного образа

сюръективно для всех k.

Доказательство. Возьмем замкнутую подсхему , такую, что аффинно, а тривиально над Тогда коммутативна диаграмма

в которой вертикальные отображения — отображения плоского обратного образа, а строки точны по предложению 1.8. Диаграммный поиск показывает, что достаточно проверить утверждение для ограничения на Используя нётерову индукцию, т. е. повторяя процесс для достаточно провести доказательство для Поэтому

можно предполагать, что Разлагая проекцию

можно считать, что

Мы должны показать, что лежит в для любого -мерного подмногообразия Заменяя X замыканием множества (ср. предложение 1.7), можно считать, что X — многообразие, а V доминирует Пусть А — координатное кольцо схемы поле частных кольца простой идеал в соответствующий V Если то и потому Таким образом, можно считать, что Так как V доминирует простой идеал нетривиален; пусть порождает Тогда

для некоторых -мерных подмногообразий которые проектируются в X недоминантно. Поэтому где так что

что и требовалось.

В частности, при

Как мы увидим в гл. изоморфизм, если векторное расслоение.

Пример 1.9.1 (ср. [Chow 2]). Пусть X — схема с «клеточным разложением», т. е. X обладает фильтрацией замкнутыми подсхемами, причт каждое есть непересекающееся объединение схем изоморфных аффинным пространствам Тогда порождается где замыкание схемы в Пользуясь гомологиями (ср. пример 19.1.11(b)), можно показать, что образуют базис в Примерами таких схем служат грассманианы и многообразия флагов (ср. гл. 14).

Пример 1.9.2. Заключение предложения 1.9 верно для любого локально тривиального расслоения, слой которого — открытая подсхема аффинного пространства (ср. [Grothendieck 1], § 6).

Пример 1.9.3. Пусть есть -мерное линейное подпространство в .

(а) порождается (Надо применить предложение 1.8 к

это следует из вида рациональных функций на Пусть объединение Надо взять проекцию из линейного к — -мерного подпространства, не пересекающего и применить теорему 1.4 к Более общая теорема будет доказана в гл. 3.

Пример 1.9.4. Пусть неприводимая приведенная гиперповерхность степени d в Тогда где гиперплоскость, и

Пример 1.9.5. (а) Пусть -конечный бирациональный морфизм -мерных многообразий. Для подмногообразия коразмерности 1 обозначим через наибольший общий делитель степеней когда пробегает все подмногообразия многообразия X, такие, что Тогда точна последовательность

(b) Пусть зонтик Уитни Тогда порождается классом у-оси. (Надо применить

Пусть X — фактормногообразие пространства полученное отождествлением для всех корней степени из единицы или, что то же самое, Тогда

Пример 1.9.6 (ср. с. 166). Пусть рассматривается как ковариантный функтор из категории полных схем над фиксированным полем в абелевы группы. Пусть естественное преобразование, такое, что для некоторого класса размерности на Тогда тождественно. (Покажем сначала, что Для этого возьмем такой, что где есть -плоскость в сравнивая покажем, что коэффициент при должен быть нулевым. При доказательстве равенства для любого многообразия X можно предполагать X проективным, пользуясь леммой Чжоу ). Заменяя X его конечным накрытием, можно считать, что на X действует конечная группа Пусть Применяя ковариантность к проекции и пользуясь предыдущим утверждением, получим, что Из ковариантности для действия получим включение Теперь из примера 1.7.6 следует

Аналогично в категории всех алгебраических схем над фиксированным полем пусть ковариантно для собственных морфизмов и контравариантно для открытых вложений квазипроективных схем. Если, кроме того, то тождественно.