15.2. Теорема Гротендика - Римана — Роха

Теорема 15.2. Пусть собственный морфизм неособых многообразий. Тогда для любого а

Доказательство. Мы будем предполагать, что обладает разложением

где замкнутое вложение, проекция. Такое разложение существует для квазипроективного В самом деле, если локально замкнутое вложение, то есть замкнутое вложение По поводу общего случая см. пример 15.2.9 и следствие 18.3.1(c).

Эту теорему можно интерпретировать как утверждение, что гомоморфизм

определенный формулой коммутирует с собственными прямыми образами: Отсюда следует, что если теорема верна для она верна для

Что касается проекции, то мы рассмотрим более общую проекцию с неособым Имеется коммутативная диаграмма

Главное здесь — равенство которое следует из свойства мультипликативности класса Тодда. Если теперь то левое вертикальное отображение сюръективно и порождается классами Поэтому все сводится к проверке теоремы для отображения в точку и к проверке формулы

Так как где (ср. дополнение B.5.8), это составляет содержание примеров и 15.1.4.

Теорема Римана — Роха для замкнутых вложений. Обратимся теперь к случаю, когда замкнутое вложение. Пусть нормальное расслоение к Пользуясь деформацией к нормальному расслоению, мы продеформируем наше вложение во вложение «модельное» в смысле предыдущего раздела. Из §5.1 мы имеем коммутативную диаграмму

где -раздутие вдоль Мы можем считать, что где векторное расслоение над Пусть где проекция на Возьмем резольвенту пучка на М:

Так как и плоские над из леммы следует, что ограничения этой точной последовательности на слои и » остаются точными. Поэтому резольвента резольвента Так как то

(i) - резольвента на

Аналогично резольвента на . Но не пересекается с Поэтому

(ii) — резольвента на и

(iii) комплекс ацикличен.

Для комплекса векторных расслоений мы пишем вместо Вычислим образ

согласно основному факту, что (ср. пример 5.1.1). Продолжим эту цепь равенств, снова пользуясь формулой проекции:

Для класс был вычислен в модельном примере предыдущего раздела (формула (5)). Поэтому

Пусть - композиция раздутия проекции на У. По построению имеем . Применяя , мы получаем

Как- при переходе от формулы (4) к (5) в предыдущем разделе, мы приходим к заключению теоремы.

Следствие 15.2.1 (Хирцебрух — Риман — Рох). Пусть векторное расслоение над полным неособым многообразием Тогда

Доказательство. Это составляет содержание теоремы 15.2 для отображения X в точку.

Следствие 15.2.2. Пусть X — полное неособое n-мерное многообразие. Тогда

Пример 15.2.1. Пусть X — неособая полная кривая рода т. е. Тогда

Так как это эквивалентно тому, что

Пусть векторное расслоение ранга в над Тогда по ХРР

В частности, если линейное расслоение, то

Если векторные расслоения рангов на X, то (ср. [Weil 1])

Пример 15.2.2. Пусть -неособая полная поверхность. Тогда

где Поэтому

Пусть канонический дивизор, топологическая эйлерова характеристика, Тогда предыдущая формула означает, что

Если векторное расслоение ранга над X с то

В частности, для дивизора на X

Если эффективный дивизор на X, то

(Надо использовать точную последовательность Если неприводимая кривая на ее арифметический род, то

Например, плоская кривая степени имеет арифметический род Кривая на бистепени имеет арифметический род

Пример 15.2.3. Пусть как в примере 9.3.2, и Тогда

(По формуле двойных точек Затем надо использовать примеры 15.2.1 и 15.2.2.) Сравнивая с примером 9.3.2, получаем известную формулу для степени кондуктора (ср.

Пример 15.2.4. Теорема об индексе. Пусть X — неособая проективная поверхность и -обильный дивизор на Пусть дивизор на X с Тогда и следующие утверждения эквивалентны: для любого дивизора на (iii) некоторое кратное дивизора алгебраически эквивалентно нулю.

Здесь обозначает индекс пересечения Заменяя некоторым кратным, можно считать, что -гладкое гиперплоское сечение. Доказательство состоит из нескольких шагов:

1) Существует число такое, что для любого Это следует из когомологической последовательности для

Здесь применяется также теорема Серра об обращении в нуль и тривиальность для линейных расслоений степени, большей над кривой рода (ср. пример 15.2.7).

2) Если то тогда и только тогда, когда для некоторого Если эквивалентно эффективному дивизору то Обратно, если то по теореме Римана — Роха при

3) Если для некоторого обильного дивизора то для любого обильного

для в противоречие с 3). Это доказывает первое утверждение.

5) Если но заменим на такое, что

для всех целых что невозможно.

6) Чтобы доказать рассмотрим дивизоры

Согласно теореме Римана — Роха, для

По 1) для существуют эффективные дивизоры линейно эквивалентные имеют один и тот же многочлен Гильберта; так как такие кривые параметризуются алгебраической схемой (ср. найдутся из одного алгебраического семейства.

Обобщение приводится в примере 19.3.1. Для особого случая см. дополнение Клеймана к докладу XIII в Теорема была открыта и доказана Ходжем с использованием теории де Рама, как в работе Сегре дал доказательство, похожее на намеченное здесь,

Пример Если то

где Если векторное расслоение ранга над X с классами Чженя то

Если это упрощается до

(b) Пусть и -векторное расслоение над Пусть где гиперплоскость, Тогда делится на 6. Например, если ранга 2, то должно быть четным.

Пример 15.2.6. Пусть X есть -мерное абелево многообразие, векторное расслоение над Тогда

Если линейное расслоение, то

В частности, для любого дивизора на X индекс самопересечения делится на

Пример 15.2.7. Теорема Хирцебруха — Римана — Роха становится особенно полезной, когда удается контролировать некоторые группы когомологий. Вот некоторые основные факты в этом направлении:

(a) Если то теорема Серра дает равенства для Поэтому

для достаточно больших

Двойственность Серра дает изоморфизмы

Здесь каноническое линейное расслоение (ср. [Serre 2], [Grothendieck 4], [Hartshorne 2]).

(c) В нулевой характеристике имеется теорема Кодаиры об обращении в нуль: если обильное линейное расслоение над X, то для Более общо, (ср. показал, что для обильного векторного расслоения над X

при

Пример 15.2.8. Пусть гладкий собственный морфизм неособых многообразий и относительное касательное расслоение. Тогда для а

(Так как это эквивалентно ГРР для как эквивалентны формулы (4) и (5) в § 15.1.) Например, если для векторного расслоения над проекция, то (ср. дополнение

Аналогично, если семейство абелевых многообразий, то для векторного расслоения на и

Пример 15.2.9. В нулевой характеристике доказательство теоремы 15.2 можно распространить и на случай неквазипроективного Пусть а из примера 15.1.6 мы знаем, что существует неособое квазипроективное X, собственный морфизм и элемент а Теорема применима к Поэтому

и

Так как отсюда получаем наше утверждение.

Доказательство в любой характеристике, не требующее разрешения особенностей, см. в следствии 18.3.1.

Пример 15.2.10. Арифметический род удовлетворяет фундаментальному «модулярному» закону:

Пусть —неособые дивизоры на неособом проективном многообразии причем X линейно эквивалентен а пересекаются трансверсально по непересекающимся подмногообразиям Тогда

На самом деле имеется единственный способ приписать число любому неособому проективному многообразию, которое удовлетворяет модулярному закону и принимает значение 1 на точке. Это доказано в работах [Washnitzer 2] и [Fulton 7].

Если X — неособое подмногообразие неособого многообразия то деформация к нормальному расслоению дает линейную эквивалентность между трансверсально пересекает Так как для любого векторного расслоения над X, мы получаем, что

Пример 15.2.11. Сигнатура. Сигнатура (или индекс) компактного ориентируемого многообразия X полагается равной нулю, если (вещественная) размерность этого многообразия не делится на 4, и равной индексу квадратичной формы на заданной -произведением, если Для комплексного проективного многообразия X теория Ходжа дает формулу

Геометрия деформации к нормальному расслоению может быть использована для доказательства формулы для сигнатуры раздутия комплексного многообразия вдоль подмногообразия именно,

(В обозначениях предыдущего примера Это следует из работы [Hirzebruch 1], 11.3.1, так как не пересекает в пространстве деформации и для любого векторного расслоения над равно нулю при нечетном и при четном Аналогичный метод применим для общего -рода Хирцебруха.

Пример 15.2.12. Классы Тодда. Для неособого многообразия X положим Тогда

В частности,

Если замкнутое вложение коразмерности d и X есть пересечение d дивизоров Картье на то

так что

Пример 15.2.13. Числа Чженя. Для каждого однородного многочлена веса определим число Чженя для -мерного неособого полного многообразия X как

Например, многочлен Тодда дает арифметический род

(а) Пусть многочлены, определенные в примере 15.1.3. Тогда (ср. [Milnor - Stasheff 1], § 16.4) для неособых

результат Тома. В частности, если и ни X, ни не точка, то

Однородный многочлен веса определяется своими значениями на -мерных декартовых произведениях проективных пространств. (Многочлены образуют базис многочленов веса и

(c) (ср. [Hirzebmch 1], 0.3). многочлен Тодда — это единственное число Чженя, значения которого на всех произведениях проективных пространств равно 1. (Надо использовать (b) и пример 15.2.10.) Поэтому кратностями исчерпываются числа Чженя, инвариантные относительно раздутий с неособыми центрами.

Пример 15.2.14. По крайней мере в нулевой характеристике арифметический род является бирациональным инвариантом. Если X — неособое проективное комплексное многообразие, то

Поэтому Отдельно взятые числа бирациональные инварианты (ср. [Hirzebruch 1]).

Пример 15.2.15. Пусть регулярное вложение особых, быть может, схем с нормальным расслоением Предположим, что обладает замкнутым вложением в неособое многообразие, так что любой когерентный пучок на есть факторпучок локально свободного пучка (дополнение Существует гомоморфизм который переводит резольвента для Тогда для любого а

(Доказательство то же, что в неособом случае; обобщение см. в § 18.3.)

Пример 15.2.16. Введем на естественную фильтрацию

так что Если X — неособое многообразие и есть -мерное подмногообразие X, то

где - вложение собственная замкнутая подсхема в V, такая, что регулярно вкладывается в Так как

точна и образ лежит в достаточно доказывать утверждение при пустом В этом случае

где -нормальное расслоение к

(b) Из (а) следует, что гомоморфизм примера 15.1.5 становится изоморфизмом после тензорного умножения на и что характер Чженя определяет изоморфизм

-алгебр. (Согласно отображает Это индуцирует гомоморфизм

композиция которого с есть естественное вложение Так как сюръективно, оба отображения становятся изоморфизмами после тензорного умножения на Так как после тензорного умножения на определяет изоморфизм ассоциированных градуированных групп, это же верно и для исходных групп. Более концептуальное доказательство см. в следствии 18.3.2.)

Пример 15.2.17. Пусть векторное расслоение над схемой универсальное факторрасслоение для Тогда для любого а

(Равенство в каждой степени равносильно формальному тождеству для классов Чженя векторного расслоения. Без вычислений это можно получить так: (1) при доказательстве можно предполагать, что гладкое проективное многообразие; на самом деле можно использовать любой грассманиан, где одночлены данной степени от классов Чженя универсального факторрасслоения независимы.

(2) Так как для требуемая формула следует из формулы Римана — Роха (пример 15.2.8). Для дальнейшего отметим, что в этом рассуждении мы пользовались только проективным случаем теоремы Римана — Роха.)

Пример 15.2.18. Пусть - многообразие инцидентности, состоящее из пар пример 14.7.12). есть -расслоение над с проекцией и линейным расслоением Пусть две проекции Для любого положим

где пучок идеалов диагонального вложения Тогда есть векторное расслоение ранга над I и

где такое же, как в § 14.7. (Применим ГРР к и вычислим Другой подход см. в работе

Гиперповерхность определяет сечение нули которого состоят из таких пар что имеет контакт порядка в точке Взвешенное число таких равно

Так как есть класс Сегре т. е. правую часть можно найти с помощью исчисления Шуберта. Например, если получается ; если это дает