Глава 10. Семейства алгебраических циклов
Резюме
Пусть 
- неособая алгебраическая кривая и 
— морфизм. Любой 
-цикл 
на 
определяет алгебраическое семейство 
-циклов 
на слоях 
Рационально эквивалентные 
-циклы на 
дают рационально эквивалентные 
-циклы на каждом слое. Основные операции теории пересечений сохраняют алгебраические семейства. Например, если 
гладкая схема над 
а 
алгебраические семейства циклов, то произведение-пересечение 
также варьируется в алгебраическом семействе. Эти факты являются следствиями общих теорем гл. 6 и понимания а, как образа а при тонком гомоморфизме Гизина, построенного по диаграмме
В такой формулировке 
можно заменить произвольным многообразием, если только 
регулярная точка 
Это доставляет простой метод изучения алгебраической эквивалентности.
Принцип непрерывности, или сохранения индекса, имеет две стороны. Первая — что все циклы из алгебраического семейства нуль-циклов на схеме, собственной над пространством параметров, имеют одну и ту же степень. Вторая, уже упомянутая выше, заключается в том, что операции теории пересечений сохраняют алгебраические семейства.
Тонкая теория пересечений позволяет улучшить классические формулировки этого принципа. Например, объемлющее пространство не обязано быть полным; нужно только, чтобы множество пересечений было собственным над пространством параметров. Это полезно для применений к исчислительной геометрии, когда объемлющее
пространство есть пространство невырожденных геометрических фигур. В последнем разделе рассмотрен пример такого рода: формула для числа кривых в 
-мерном семействе плоских кривых, которые касаются 
заданных плоских кривых в общем положении; ответ дается в терминах характеристик семейства, степеней и классов заданных кривых.
