12.1. Положительные векторные расслоения

Линейное расслоение над схемой X обильно, если существуют положительное целое и конечный морфизм такие, что На самом деле можно найти и такое что будет замкнутым вложением, но мы не будем пользоваться этим фактом.

Лемма 12.1. Пусть обильное линейное расслоение над X и а — неотрицательный (соотв. положительный) -цикл на Тогда

Доказательство. Пусть как выше. По предложению 2.5(c)

Так как прямой образ при конечном морфизме сохраняет положительность цикла, нам остается проверить хорошо известный факт, что

любое подмногообразие V в проективном пространстве имеет положительную степень. Это проверяется индукцией по размерности к многообразия Если выберем гиперплоскость которая пересекает, но не содержит Тогда цикл пересечения

положителен и представляет так что по индукции

В частности, если X обладает обильным линейным расслоением, то Однако, если X не проективна, может случиться, что (ср. пример 12.1.1).

Векторное расслоение называется обильным, если линейное расслоение над обильно. В том случае, когда обладает конечномерным пространством V сечений, порождающих это эквивалентно тому, что индуцированный морфизм из в проективное пространство конечен. Любое факторрасслоение обильного расслоения обильно; прямая сумма обильных расслоений обильна. Если векторное расслоение, обильное линейное расслоение и порождается своими сечениями, то обильно.

Теорема Пусть векторное расслоение ранга над схемой проекция, нулевое сечение. Пусть V есть -мерное подмногообразие в к

Если порождается сечениями, то

Если обильное линейное расслоение над порождается сечениями, то

где различные неприводимые компоненты

Если обильно и порождается сечениями, то

(d) Если обильно и обильное линейное расслоение над X, то

Доказательство, (а) По предположению существует сюръекция : тривиального расслоения на Пусть их нулевые сечения. Морфизм гладкий относительной размерности где так что Так как

по предложению 6.5(b). Поэтому достаточно доказать утверждение для так что можно считать расслоение тривиальным.

Проведем индукцию по рангу расслоения Запишем где тривиальное расслоение ранга и пусть вложение Пусть и — нулевое сечение Тогда и по теореме 6.5

Поэтому достаточно показать, что Класс строится пересечением V с эффективным дивизором на (определение 2.3). Если то представляется неотрицательным циклом пересечения на Если то так как нормальное расслоение к тривиально.

(b) Отображение тривиального расслоения на определяет сюръекцию на Рассуждая, как в мы сводим все к случаю где тривиальное расслоение ранга Доказательство идет теперь индукцией по

Рассмотрим сначала случай В этом случае вкладывает X как дивизор Картье в Если то и

Поэтому

и положительна по лемме 12.1. Если же V собственно пересекает нулевое сечение, то

где положительные кратности пересечений. Поэтому

Чтобы завершить рассмотрение случая нам остается проверить, что V пересекает нулевое сечение. Предположим, что это не так, и пусть V — замыкание V в куда канонически вкладывается проекция. Так как V не пересекает нулевое сечение,

V содержится в дополнении к в которое можно отождествить с Поэтому является одновременно аффинным и проективным морфизмом, т. е. конечным морфизмом (дополнение В частности, обильное линейное расслоение. Однако обратный образ на тривиален, так что тривиален. А тривиальное

линейное расслоение над многообразием положительной размерности не может быть обильным, как следует из леммы 12.1.

При мы применим индукцию по Возьмем расщепление с тривиальным ранга так что если индуцированное вложение то пересекает К. (Для существования такого расщепления обильность и размерность К несущественны. Можно считать, что К — точка, и ограничить на открытое подмножество в X, на котором тривиально и где утверждение очевидно.) Если собственно пересекает неприводимые компоненты с кратностями пересечений нулевое сечение то

Поэтому

Так как каждое встречается среди неприводимых компонент некоторого Согласно предположению индукции для

и это завершает доказательство в рассматриваемом случае. В противном случае К содержится в так что

где проекция из и нормальное расслоение к в Поэтому

согласно предложению 6.3. Следовательно, Так как предположение индукции дает требуемые неравенства.

(с) По (а) достаточно показать, что причем доказывать это можно после замены базы, расширяющей основное поле до его алгебраического замыкания (ср. пример 6.2.9). Для любого сечения 5 расслоения такого, что пересекает К,

где С — нормальный конус к V вдоль (пример 6.2.3 и следствие 6.5). Поэтому можно предполагать С неприводимым конусом. Теперь доказательство проводится индукцией по размерности X и тривиально при Можно предполагать, что С проектируется на Мы предполагаем также, что так как иначе утверждение очевидно.

Предположим, что существует сечение 5 расслоения такое, что пересекает С, но не содержится в С. Пусть Тогда

где С — нормальный конус к С вдоль Так как С имеет меньший носитель, все завершается по индукции.

Предположим теперь, что такого сечения нет, т. е. любое сечение либо не проходит через С, либо содержится в С. Пусть пространство сечений, каноническая сюръекция из тривиального расслоения на ядро По предположению «постоянный» конус, т. е. где конус в Для каждого слой расслоения в содержится в В и удовлетворяет соотношению Но для любого конуса В в векторном пространстве множество есть линейное подпространство в содержащееся в Поэтому содержится в собственном тривиальном подрасслоении расслоения Значит, сюръективно проектируется на тривиальное расслоение Однако из определения обильности видно, что обильное векторное расслоение над многообразием положительной размерности не может иметь тривиальное факторрасслоение.

(d) Если V — подконус в это доказано в работе [Fulton - Lasarsfeld 3], следствие 2.2. Доказательство кроме теории пересечений использует конструкции из статьи [Bloch - Gieseker 1] и опирается на трудную теорему Лефшеца. Мы не будем повторять его здесь. Если

V пересекает нулевое сечение расслоения то

где С — нормальный конус к в V, так что применим предыдущий случай.

Чтобы показать, что V пересекает нулевое сечение, мы устроим деформацию к нулевому сечению и применим предыдущий случай. Пусть Пусть образ при замкнутом вложении Пусть — замыкание Тогда V есть слой семейства точкой 1, а слой над пересекает нулевое сечение по крайней мере в тех точках, куда

проектируется Мы знаем, что в (скажем, из примера 10.1.7), поэтому Этого достаточно, чтобы применить предыдущий случай к неприводимой компоненте слоя пересекающей нулевое сечение.

Пример 12.1.1. (а) Пусть Тогда так что .

(b) Хиронака построил полное неособое многообразие X над С, на котором имеется положительный 1-й цикл, рационально эквивалентный 0, так что (ср. [Hartshorne 5], с. 553—555). Конечно, такое многообразие не может быть проективным.

Пример 12.1.2. Пусть вкладывает как дивизор Картье и V есть -мерное подмногообразие в к 1. Имеются три возможности для класса пересечения :

(i) X собственно пересекает Тогда положительный цикл с носителем .

(ii) X не пересекает Тогда .

(iii) X содержит Тогда где нормальное расслоение.

Все три случая могут возникнуть, когда линейное расслоение над нулевое сечение.

Пример Пусть векторное расслоение ранга над схемой X, порождаемое своими сечениями, и : проекция. Тогда

(и) Если обильно, то (Это эквивалентно пп. (а) и (с) теоремы.)

(b) Если обильное векторное расслоение ранга над — подмногообразие размерности то для любого сечения расслоения (Надо применить (d) и следствие 6.5.) В частности, если

Пример 12.1.4. Заключение (с) теоремы 12.1 может не выполняться, если не порождается своими сечениями. Пусть дивизор положительной степени на проективной неособой кривой X, который не линейно эквивалентен эффективному дивизору. Пусть вкладывается как нулевое сечение. Тогда обильно и порождается сечениями, но не лежит в

В ситуации теоремы некоторое положительное кратное попадает в (Рассуждаем, как при доказательстве Мы не знаем, будет ли это верно в ситуации п. (d).

Пример 12.1.5. Следуя работе [Sommese 1], назовем линейное расслоение над полной схемой обильным, если существует положительное целое и морфизм такие, что и все слои имеют размерность Векторное расслоение -обильно, если на -обильно. Заметим, что -обильность — то же самое, что обильность.

Если обильно и порождается своими сечениями, подмногообразие то (Рассуждаем, как в

Если есть обильное линейное расслоение и порождается своими сечениями, а Кто же, что и выше, то некоторое положительное кратное попадает в (ср. пример 12.1.4).

Пример 12.1.6. Существование множества вырождения ([Fulton - Lasarsfeld 3]). Пусть векторные расслоения рангов над многообразием Предположим, что обильное векторное расслоение. Пусть подмногообразие в коразмерности d. Если то для любого гомоморфизма векторных расслоений множество

непусто и замкнуто, и все его компоненты имеют размерность не меньше Например, если многообразие отображений ранга то его коразмерность равна (лемма ) так что

непусто, если . (Применим теорему к сечению заданному Этот последний результат впервые появился в работе [Fulton - Lazarsfeld 2].

Аналогично, пусть векторное расслоение ранга линейное расслоение и (соотв. ) обильно. Пусть

— симметричный (соотв. кососимметричный) гомоморфизм векторных расслоений (ср. пример 14.4.11). Если (соотв. где к четно), то непусто. Уточнения см. в примере 14.4.13.

Пример 12.1.7. Многочлены от классов Чженя обильных векторных расслоений (Fulton - Lazarsfeld 3). Пусть векторное расслоение ранга над Пусть X — разбиение целого числа на целые числа

Определим многочлен Шура формулой

Это однородный многочлен веса от классов Чженя Частными случаями являются при (и, при § 14.5.

Пусть а — положительный -цикл на .

(a) Если порождается сечениями, то

(b) Если обильно и порождается сечениями, то .

(c) Если обильно и обильное линейное расслоение над X, то

(Можно считать, что X — многообразие и Если V — тривиальное расслоение ранга над X, существует подмногообразие расслоения такое, что Это доказано в примере 14.3.2. Так как удовлетворяет тем же условиям положительности, что и заключение следует из теоремы 12.1 (а), (с) и (d).)

На самом деле положительные линейные комбинации многочленов исчерпывают многочлены, имеющие положительную степень для всех обильных расслоений на всех многообразиях. Вот несколько первых

заметим, что не является такой положительной комбинацией.

Пример 12.1.8. Пусть векторное расслоение, порождаемое сечениями, над -мерным многообразием X над алгебраически замкнутым полем. Пусть положительное целое число. Предположим, что (это выполняется для любых если X проективно). Тогда следующие утверждения эквивалентны:

(ii) существует тривиальное подрасслоение

(Реализуем как множество вырождения общего сечения расслоения пример 14.4.3.)

Импликация неверна для аффинных многообразий (ср. [Kumar - Murthy 1].)

Пример 12.1.9. Пусть обильное векторное расслоение ранга над схемой X над алгебраически замкнутым полем К. Если V — подмногообразие в то (Пусть Если непостоянный морфизм, то конечное множество. Для общей точки многообразие противоречит примеру

Пример 12.1.10. Обильность над всем X не нужна для справедливости (с). Пусть векторное расслоение над проективным многообразием X над алгебраически замкнутым полем, и пусть порождается своими сечениями. Следуя Лазарсфельду, определим множество необильности как множество точек через которые проходит кривая такая, что имеет тривиальное фактор-расслоение. Эквивалентно, если V — пространство сечений то есть проекция на X множества тех точек из где каноническое отображение из не конечно. Отсюда видно, что множество замкнуто в Расслоение называется обильным в общем, если

Если С — неприводимый подконус в и носитель С не содержится в то (Доказательство аналогично доказательству теоремы Отсюда следует, что многочлены Шура от классов Чженя обильных в общем векторных расслоений положительны.

Если X с поверхность Фано прямых на трехмерной кубике (ср. пример 14.7.13), можно показать, что универсальное фактор-расслоение, а также двойственное к универсальному подрасслоению на ограничиваются на X до обильного в общем, но не обильного векторного расслоения.

Пример 12.1.11. Пусть векторное расслоение ранга над схемой X над бесконечным полем К, и пусть порождается сечениями Для пусть обозначает сечение расслоения Пусть V — чисто -мерная подсхема в Тогда для общей точки (либо пусто) и

сюръекция, заданная Тогда где Согласно предложению где Пусть — координатные функции на Если замкнутая подсхема в индукцией по показываем, что для общей точки функции образуют регулярную последовательность в Когда и X аффннна, это означает, что не принадлежит никакому ассоциированному простому идеалу подсхемы Так как любой собственный идеал кольца содержит самое большее, для одной точки приходится выбрасывать лишь конечное число

Эти рассуждения также показывают, что общее сечение расслоения регулярно.