6.5. Функториальность

Покажем теперь, что тонкий гомоморфизм Гизина для композиции регулярных вложений есть композиция тонких гомоморфизмов Гизина для этих вложений.

Теорема 6.5. Рассмотрим расслоенную диаграмму

Если (соотв. j) - регулярное вложение коразмерности d (соотв. e), то - регулярное вложение коразмерности и для любого а

Доказательство. (По поводу другого доказательства см. пример 17.6.3.) Регулярность вложения следует из леммы А.5.2.

Рассмотрим сначала случай, где векторное расслоение над естественное отображение из вложение в качестве нулевого сечения в Пусть проекция (соотв. как расслоения. Имеются канонические изоморфизмы конусов на X

Чтобы убедиться в этом, обозначим через пучок идеалов, задающий подсхему а через пучок сечений так что где Идеал подсхемы идеалом Тогда

так что

и

что доказывает (1).

В частности, нормальное расслоение является прямой суммой Поднимая это разложение на получаем

Пусть проекция из проекция из в X, так что проекция в

Предположим также, что — неприводимое многообразие. Из (1) и (2) следует, что

Из конструкции тонких гомоморфизмов Гизина имеем

и

Так как биективно (теорема 3.3(a)), предыдущие три формулы дают

Отсюда уже следует, что для любого и любого а выполняется

В самом деле, по теореме можно считать, что и по линейности что где V — неприводимое подмногообразие в По теореме 6.2(a) мы можем заменить на Тогда по построению, так что (4) следует из (3).

Для доказательства формулы (4) в общем случае можно предполагать, что где -неприводимое многообразие (теорема Пусть — деформационные многообразия, построенные в § 5.1. Для точки рациональной над основным полем, пусть вложение Образуем расслоенную диаграмму

Здесь к — композиция вложения и вложения построенного в § 5.1. Так как слои многообразия над являются дивизорами Картье на то

Рассмотрим расслоенные диаграммы

где если причем вложение нулевого сечения По теореме 6.2(c)

Но, согласно частному случаю, рассмотренному выше,

где последнее равенство следует из построения Теперь заключение вытекает из (6) и (7), если только мы знаем, что не зависит от Но по фундаментальному результату о коммутативности из

§ 6.4, примененному к диаграмме

Пусть Требуемое утверждение следует из того факта, что для любого элементы

не зависят от (ср. примеры 2.6.6 и 6.3.3).

Следующий результат формально похож, но устанавливается более непосредственно.

Предложение 6.5. Рассмотрим расслоенную диаграмму

(a) Предположим, что -регулярное вложение коразмерности а морфизмы плоские относительной размерности Тогда также регулярное вложение коразмерности морфизмы плоские и для

(b) Предположим, что - регулярное вложение коразмерности гладкий морфизм относительной размерности и -регулярное вложение коразмерности Тогда для любого а

Доказательство, (а) Утверждение, что регулярное вложение коразмерности следует из леммы А.5.3. При доказательстве нашей формулы мы можем, пользуясь, как обычно, формулой проекции, предполагать, что -многообразие. Тогда по определению плоского обратного образа и

в силу теоремы 6.2(c) и примера 6.2.1.

(b) Образуем расслоенный квадрат

и построим соответствующий квадрат над ним, индуцированный заменой базы схемы и морфизмы в этом квадрате обозначим соответствующими буквами со штрихом. Морфизм определяет сечение такое, что Так как морфизм гладкий, является регулярным вложением (дополнение В.7.3). Поэтому

так как тождествен на

Следствие 6.5. Пусть векторное расслоение ранга d над X, а проекция. Любое сечение расслоения является регулярным вложением и

— изоморфизм, обратный к В частности, не зависит от выбора сечения Если схема нулей сечения то класс из переходит в из

Доказательство. По предложению так как сюръективно, то изоморфизмы. Последнее утверждение следует из теоремы 6.2(a).

Пример 6.5.1. (а) Пусть регулярные вложения и а — цикл на Тогда

Здесь строится как пересечение цикла а, вложенного диагонально в с подсхемой В случае равноразмерной схемы это читается как

(Теорема 6.4 дает первое равенство. Для второго надо образовать диаграмму

и применить теорему 6.5 и теорему 6.2(c).)

(b) Аналогичная формула верна и для более чем двух сомножителей. Например, пусть эффективные дивизоры Картье на схеме Пусть вложение Тогда для -цикла а на X

Здесь строится по индукции с помощью процесса из § 2.2.

Пример 6.5.2. Пусть регулярное вложение коразмерности Пусть — морфизм и

Тогда регулярное вложение коразмерности и

где (Можно считать, что Разлагая можно считать, что Теперь утверждение следует из теоремы

Пример 6.5.3. В нашем доказательстве функториальности была использована коммутативность. Обратно, если использовать декартовы степени, то из функториальности можно вывести коммутативность. В ситуации теоремы 6.4 образуем расслоенный квадрат

Тогда

(Надо разложить на и на

Пример 6.5.4. В ситуации предложения можно доказать больше: если - подмногообразие в то классы пересечений имеют одно и то же каноническое разложение. (Существует сюръекция на (дополнение так что есть обратный образ