4.3. Кратность вдоль подмногообразия

Для неприводимого подмногообразия X многообразия коэффициент при в классе называется кратностью многообразия вдоль X или алгебраической кратностью подмногообразия X на и обозначается Если то

Здесь проекции на X, а - раздутие вдоль X с исключительным дивизором Это определение эквивалентно определению кратности локального кольца данному Самюэлем в работе [Samuel 1] (ср. пример 4.3.1).

Если точка, касательный конус к в точке

В этом случае называется кратностью многообразия в точке

Пример 4.3.1. Пусть А — локальное кольцо вдоль X, — максимальный идеал в Тогда

является многочленом степени от для больших значений со старшим членом где (ср. пример 2.5.2).

Пример 4.3.2. В этом примере -проективная неособая кривая рода есть симметрическая степень этой кривой, параметризующая эффективные дивизоры степени d на фиксированная точка -якобиан С и морфизм переводит дивизор в класс дивизоров Следующие факты предполагаются известными: (i) схемные слои морфизма это линейные системы если то превращает в проективное расслоение над если то бирационально отображает на его образ

где первый класс Чженя канонического линейного расслоения над (Это следует из (ii) при большом d. Для малых d следует рассмотреть вложение Нормальное расслоение к этому вложению ограничивается до расслоения над с классом Чженя

Из и предложения следует формула Римана — Кемпфа (см. [Kempf 2]): кратность в точке равна

где

Р. Смит показал, как аналогичная процедура может быть использована для доказательства утверждения Мамфорда (ср. [Beauville 3]) о том, что тэта-дивизор промежуточного якобиана неособой кубической гиперповерхности в имеет особую точку кратности 3. Если многообразие Фано прямых на кубике, то существует морфизм степени 6 из на тэта-дивизор, при котором прообразом особой точки

является диагональ в Вычисления (см. [Clemens - Griffiths 1]) дают

откуда следует, что искомая кратность равна

Пример 4.3.3, (a) ([Schwarzenberger 1].) В обозначениях предыдущего примера при существует векторное расслоение над такое, что при этом расслоение есть линейное расслоение дивизора дает геометрическую реализацию классов Сегре

Пусть инволюция на которая переводит класс дивизора в класс где К — канонический дивизор на С. Существует точная последовательность

для большого где -последовательное расширение тривиальных линейных расслоений. Поэтому

так что

Если представляет а и, представляет это объясняет формулу Маттука

(b) (Ср. [Mattuck 3].) Класс Чженя d-й симметрической степени неособой проективной кривой С рода дается формулой

Здесь класс вложенной в при помощи (Если то причем и применим пример 3.2.11. Если формула известна для надо вложить как выше. Многочлен Чженя нормального расслоения равен Выведем отсюда формулу для

Пример 4.3.4. Пусть X — замкнутая подсхема равноразмерной схемы —ее неприводимая компонента. Кратность вдоль обозначаемая определяется как коэффициент при в

классе Если мы пишем просто Эта кратность совпадает с кратностью по Самюэлю примарного идеала определяемого подсхемой X в локальном кольце Иначе говоря, если то для больших

Вообще, если неприводимые компоненты схемы содержащие V, с геометрическими кратностями то по лемме 4.2

Пример 4.3.5. Сохраним обозначения предыдущего примера.

(a) Если поле вычетов кольца А бесконечно в работе [Samuel 1] показано, что существуют порождающие идеал такой, что Если основное поле К бесконечно, такие а, можно найти среди -линейных комбинаций образующих (См. [Zariski - Samuel 1] т. 2, с. 332, по поводу доказательства.)

(b) Если порождают идеал такой, что то где член справа есть альтернированная сумма длин комплекса Кошуля, определенного элементами (дополнение Доказательство в таком геометрическом контексте см. в примере 7.1.2. Алгебраическое доказательство в статье [Serre 4], гл. Если А — локальное кольцо Коэна — Маколея, то

Если К бесконечно, равенство имеет место тогда и только тогда, когда порождается регулярной последовательностью. (Для как в последовательность регулярна по лемме так что

с равенством при Если поле К конечно, надо произвести расширение базы с бесконечным полем например с

В этом геометрическом контексте тогда и только тогда, когда А регулярно и максимальный идеал в А. С учетом (а) это следует из предложения 7.2; алгебраические доказательства см. в работах [Samuel 1] или [Nagata 2]. Этот критерий неверен

для произвольного нётерова локального кольца, даже если А целостное, максимальный идеал ([Nagata 2], добавление

Пример 4.3.6. Пусть собственный сюръективный морфизм неприводимых многообразий, -замкнутая подсхема в Пусть -неприводимая компонента схемы Предположим, что каждая неприводимая компонента V прообраза имеет ту же размерность, что и V Тогда, согласно предложению 4.2,

где суммирование производится по неприводимым компонентам

Пример 4.3.7. Пусть собственный сюръективный морфизм многообразий, -подмногообразие в Если V является неприводимой компонентой определим индекс ветвления морфизма как кратность вдоль в V (ср. пример 4.3.4). Если все неприводимые компоненты V многообразия имеют ту же размерность, что и V, то

Например, если многообразие гладкое над алгебраически замкнутым полем и точка на с конечным слоем то

В частности, сумма индексов ветвления не зависит от

По поводу индекса ветвления, связанного с сепарабельной степенью см. [Gaffney - Lazarsfeld 1]. О других геометрических интерпретациях кратности см. пример 12.4.5 и [Mumford 5].

Пример 4.3.8. Пусть подсхемы в содержащие V в качестве неприводимой компоненты. Предположим, что существует собственный бирациональный морфизм такой, что Тогда

Пример 4.3.9. Пусть X — многообразие размерности простая точка раздутие его исключительный дивизор и : проекция. Пусть эффективный дивизор Картье на раздутие (строгий прообраз Если наибольшая степень максимального идеала содержащая локальное уравнение для то

Поэтому в имеем

Это доказывает формулу

Пример 4.3.10. Если подмногообразие в У, для то кратность в равна произведению кратностей в У). (Надо использовать пример 4.2.5.)