12.2. Положительные пересечения

Пусть дана стандартная ситуация пересечения: расслоенный квадрат

где регулярное вложение коразмерности обратный образ на чисто -мерная схема, С — нормальный конус к его цикл на и

— каноническое разложение цикла пересечения, где

отмеченные многообразия (не обязательно различные).

Теорема 12.2. Фиксируем отмеченное многообразие и пусть

— ограничение на

Если порождается своими сечениями, то представляется неотрицательным циклом на

Если порождается сечениями для обильного линейного расслоения над то

(c) Если обильно и порождается сечениями, то представляется положительным циклом на

(d) Если обильно и обильное линейное расслоение на то

Доказательство. В силу конструкции все это непосредственно следует из теоремы

В частности, если само удовлетворяет любому из этих трех предположений положительности, все члены канонического разложения обладают соответствующей положительностью.

Пусть X — неособое -мерное многообразие и равноразмерные подмногообразия в X с

Построим произведение-пересечение по диаграмме

с каноническим разложением отмеченные многообразия. Пусть обозначает ограничение касательного расслоения на

Следствие 12.2. Фиксируем отмеченное многообразие .

(a) Если порождается сечениями, то .

(b) Если обильное линейное расслоение над такое, что порождается сечениями, то

(c) Если обильно и порождается сечениями, то .

(d) Если обильно и обильное линейное расслоение над то

Доказательство. Это следует из теоремы 12.2 и того факта, что нормальное расслоение к есть сумма экземпляров (дополнение В.7.4).

Стоит подчеркнуть, что в п. (b) обозначает степень как цикла размерности тогда как есть степень как многообразия, размерность которого может быть больше Заметим также, что каждая неприводимая компонента появляется как отмеченное многообразие независимо от размерности.

Если его ограничение на порождается сечениями, класс пересечения представляется неотрицательным циклом. Если условия или (d) выполняются для его ограничения на соответствующая положительность имеет место для каждого члена канонического разложения.

Пример 12.2.1. (а) Класс неособых многообразий X, для которых порождается своими сечениями, включает все проективные пространства, грассманианы, многообразия флагов (полных или частичных) и абелевы многообразия. Если на многообразии X в нулевой характеристике транзитивно действует алгебраическая группа то порождается своими сечениями. Это же верно в положительной характеристике, если предположить дополнительно, что для каждой точки морфизм гладкий. (Производная в точке отображает на В нулевой характеристике всегда гладко.)

(b) Пусть X — гладкая гиперповерхность степени над алгебраически замкнутым полем характеристики, не делящей d. Если (соотв. то порождается сечениями тогда и только тогда, когда (соотв. (Если форма, определяющая X, зададим расслоение как ядро гомоморфизма векторных расслоений

Сечения можно вычислить теперь из точной последовательности

(c) Свойство иметь касательное расслоение, порождаемое сечениями, сохраняется при декартовых произведениях и переходе к открытой подсхеме.

(d) Если то обильно и порождается сечениями, как и (дополнение По теореме Мори единственное многообразие с обильным касательным расслоением.

Если то ограничения на некоторые подмногообразия могут быть обильными, что дает соответствующие утверждения положительности для произведений-пересечений.

(e) Если неособо и порождается сечениями, то X — линейное подпространство или плоская коника. (Можно применить теорему Мори или рассуждать индукцией по используя общие гиперплоские сечения.) В частности, не может быть прямым слагаемым кроме случая, когда X — линейное пространство.

Пример 12.2.2. Пусть грассманиан -плоскостей в Задать морфизм то же самое, что задать подрасслоение ранга в тривиальном расслоении Если обозначает факторрасслоение, то (ср. дополнение Расслоение порождается своими сечениями. Оно обильно тогда и только тогда, когда для каждого флага

множество конечно. (Если то имеет каноническое отображение в указанное выше множество есть наибольший возможный слой этого отображения.)

Пример 12.2.3. Если вложения можно продеформировать в над пространством параметров как в гл. 11, так что для общей точки собственно пересекает то представляется неотрицательным циклом. Это дает другое доказательство того, что произведение-пересечение сохраняет неотрицательность на однородном пространстве.

Пример 12.2.4 (ср. Пусть регулярное вложение коразмерности такое, что нормальное расслоение обильно.

(a) Если а есть -цикл на то а не может быть алгебраически эквивалентен положительному -циклу с носителем, пересекающим (Надо использовать теорему и предложение

Если алгебраическая группа транзитивно действует на то любое подмногообразие в размерности d должно пересекать Над С это доказано в

Пример 12.2.5. Предположим, что алгебраическая группа транзитивно действует на многообразии Пусть X — многообразие, морфизм обильное векторное расслоение. Тогда для любого подмногообразия имеем В частности, должно пересекать (Применим предыдущий пример к графику вложения и подмногообразию

Вообще, если -обильно (ср. пример 12.1.5) и то

Пример 12.2.6. Рассмотрим ситуацию остаточного пересечения с обозначениями, как в теореме 9.2. Если ограничение на порождается своими сечениями, то класс остаточного пересечения представляется неотрицательным циклом на Если обилен, как в теореме то можно получить соответствующие заключения. (Надо использовать пример 9.2.2.)

Пример 12.2.7. Пусть Ни эффективные дивизоры Картье на схеме чисто -мерная подсхема в Пусть образуем класс пересечения используя диаграмму

Пусть каноническое разложение, отмеченные многообразия.

(a) Если ограничение каждого линейного расслоения на порождается своими сечениями (соотв. и обильно), то (соотв. Если каждое ограничение обильно, то для любого обильного линейного расслоения над Z.

(b) Предположим, что содержит дивизор вида где эффективный дивизор на Пусть остаточная схема к относительно класс остаточного пересечения. Если ограничение каждого расслоения на порождается сечениями (соотв. и обильно), то (соотв. ).

Если для всех то Если для всех то и

где неприводимые компоненты

Пример 12.2.8. Пусть даны , как в следствии 12.2, и порождается сечениями. Пусть линейное расслоение над Тогда существуют неприводимые -мерные подмногообразия и неотрицательные целые числа такие, что

(Пусть - неотрицательный представитель для Для из этого вытекает, что должно содержать -мерное многообразие малой степени.

Пример 12.2.9. В ситуации из начала § 12.2 пусть неприводимая компонента и

— вклад Предположим, что порождается сечениями для обильного линейного расслоения над Тогда

где кратность V вдоль (пример 4.3.4). Если кольцо Коэна — Маколея, то

(Пусть сумма по компонентам С, с носителем в Можно предполагать, что Если универсальное факторрасслоение над проекция в то В силу формулы для классов Чженя тензорного произведения (пример 3.2.2) и того, что порождается сечениями,

Cp. [Fulton - Lazarsfeld 4]. Неравенство (ii) следует из (i) и примера 4.3.5(c).)

Пример 12.2.10. Пусть регулярное вложение проективных многообразий с обильным . Пусть - сюръективный морфизм на многообразие Если то (Продолжая проекцией, можно заменить 5 на Рассмотрим линейное многообразие Если то для всех Но некоторые не пересекаются с X, тогда как другие пересекаются; это противоречит теореме 12.2(d).)

Пример 12.2.11. Существуют усиления пп. (с) и (d) теорем 12.1 и 12.2:

(i) Пусть обильное линейное расслоение над векторное расслоение ранга над X, такое, что порождается сечениями при некотором Пусть С — неприводимый конус в Пусть Тогда

где кратность конуса С вдоль своего нулевого сечения.

(ii) В ситуации теоремы 12.2 пусть порождаете сечениями, где обилен над Тогда

Аналогичное уточнение есть для следствия 12.2. Заметим, что условие, согласно которому порождается сечениями для некоторого и обильного эквивалентно обильности так что этот результат влечет за собой Набросок доказательства см. в работе [Fulton - Lazarsfeld 4]; при годятся рассуждения примера 12.2.9.