Главная > Теория пересечений
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Замечания и литература

Мы отметим лишь несколько в обширной литературе, посвященной остаточным пересечениям и формулам двойных точек. Заинтересованный читатель в цитированных работах найдет много дополнительных ссылок и сотни примеров.

Насколько нам известно, первые задачи об избыточных пересечениях были сформулированы в 1847 г. Сальмоном в работе [Salmon 1], хотя более ранние упоминания можно найти в статье [Jacobi 1]. Для нахождения степени двойственной поверхности к поверхности с кратной кривой он рассуждает, как в примере 9.3.11, и приходит к общей задаче нахождения «эквивалента» кривой для трех поверхностей, ее содержащих. Этот эквивалент вместе с числом точек пересечения поверхностей вне данной кривой должен давать произведение степеней рассматриваемых поверхностей. Эти идеи развивались затем в работе [Salmon - Fiedler 1].

Более общие формулы такого рода были даны Кэли ([Cayley 2, 3]). Он показал также, что многие исчислительные задачи — такие, как задача о числе кривых в семействе, касающихся данного набора кривых, — можно сформулировать как задачи об избыточных пересечениях (ср. пример 9.1.9 и § 10.4). Кэли отметил также, что такие задачи об избыточных пересечениях могут быть очень трудными. М. Нётер продолжил работы Сальмона и Кэли.

Однако впечатляющие достижения великих геометров, таких, как Шаль, Шуберт и Цейтен, были получены не на пути, который предложил Кэли. Выражаясь современным языком, они применяли теорию пересечений на подходящих раздутиях исходных пространств, где собственные прообразы гиперповерхностей, соответствующих данным геометрическим условиям, пересекались уже собственно. На самом деле, однако, эти пространства параметров явно не упоминались, и теория пересечений применялась чисто формальным, символическим образом. Тем не менее трудно примирить ясность и четкость формулировок Кэли с яростным спором полстолетия спустя о таких фундаментальных проблемах, как принцип непрерывности. Надо сказать, что существовала непримиримая конкуренция между синтетическим и аналитическим подходами к геометрии, ср. [Chasles 4], с. 1168.

Задачи об остаточных пересечениях были рассмотрены в девятнадцатом столетии сразу многими исследователями, в частности Нетером, Пиери, Капорали и Бертини. Совершенно общие пересечения в проективном пространстве были рассмотрены в работе [Severi 2]. Сегре ([Segre В. 1]) и Тодд ([Todd 3]) обобщили их на случай произвольных объемлющих многообразий размерности 3 и 4 и распространили результаты Севери от численных равенств до равенств по модулю рациональной эквивалентности. Тодд ([Todd 6]) дал вариант теоремы об остаточных пересечениях в высших размерностях, а Сегре ([Segre 4]) - общие формулы для эквивалентов, или вкладов. Много приложений можно найти в книгах [Salmon 3], [Enriques - Chisini 1], [Semple - Roth 1] и [Baker 1,2].

Классический подход к проблеме можно проиллюстрировать случаем, рассмотренным Сальмоном: вычислить вклад кривой, являющейся компонентой пересечения трех поверхностей в Две из этих поверхностей содержат исходную кривую вместе с другой кривой Сначала по инвариантам и поверхностей определяется степень и род а также число пересечений пример 9.1.12). Вычитая затем из общего (по Безу) числа пересечений третьей поверхности с мы получаем число пересечений трех поверхностей вне

Такие индуктивные доказательства используют некоторые неявные предположения. Например, остаточная кривая предполагается, видимо, неособой или хотя бы приведенной и пересекающей трансверсально. В противном случае точки из следует считать с кратностями; однако тогда не столь очевидно равенство двух различным способом вычисленных значений числа на котором основано доказательство. Аналогичные проблемы встают во многих приложениях теории пересечений, рассматривавшихся геометрами-классиками.

Задача, с которой мы столкнулись в этом обсуждении, о сравнении свойств интересна сама по себе. Она привлекла внимание как задача о сцеплении (linkage, liaison). О подходе к этой задаче, использующем гомологическую алгебру, см. [Peskine - Szpiro 1] и [Rao 1]. Другие свойства остаточных схем доказаны в работе [Artin - Nagata 1] (ср. [Hunecke 3]). Хиронака ([Hironaka 1]) использовал вычетные конструкции для сглаживания циклов.

Использование современной формулы избыточного пересечения позволяет избавиться от проблем с общим положением, возникающих в классических индуктивных рассуждениях. Подход, которому мы следуем здесь, связан с методом из работы [Segre 4]; он подтверждает гипотезу Сегре, что общий вклад можно вычислять чисто в терминах «ковариантов» (классов Сегре) участвующих многообразий (см., однако, пример 9.1.10).

Формулы двойных точек также имеют долгую историю, восходящую к формуле Клебша для рода плоской кривой (ср. пример 9.3.2). Севери ([Severi 2]) дал общие численные формулы для проекций в проективные пространства, переоткрытые в работах [Holme 1] и [Peters - Simonis 1]. Тодд ([Todd 6]) дал формулу для класса рациональной эквивалентности циклов двойных точек, основанную на его формуле остаточного пересечения. Распространение ее на морфизмы произвольных неособых многообразий и простой подход, которому мы следуем здесь, стали возможны благодаря вычетной конструкции схемы двойных точек, принадлежащей Лаксову ([Laksov 3]).

Обобщение на особые многообразия было проделано Хольмом, Джонсоном, а также Фултоном и Лаксовом (см. пример 9.3.6). Работа

[Kleiman 12] содержит вариант теоремы об остаточном пересечении, которая применяется для доказательства формулы для тройных точек и множеств более высокой кратности (ср. пример 17.6.2). Мы отсылаем к статье [Kleiman 8] по поводу истории формул кратных точек. В работе [Ran 2] недавно дано новое применение формулы остаточного пересечения для доказательства формул о секущих и кратных точках.

Большинство применений к классическим проблемам было заново разработано в примерах § 9.1, хотя случай коник, касающихся пяти данных (пример 9.1.9), содержится в статье [Fulton - MacPherson 2], а применение к мультисекущим (пример 9.1.13) взято у Ле Барца. Пример 9.3.3 предложен Лазарсфельдом, а пример 9.3.14 — Раном. Применение к кривым в не являющимся схемным пересечением гиперповерхностей (примеры и 9.1.3), вероятно, новое.

Теорема об остаточном пересечении в § 9.2 основана на конструкции из работы [Laksov 3]. Оригинальная теорема накладывала более стеснительные требования на остаточную схему, которые постепенно ослаблялись по мере улучшения техники в теории пересечений (ср. [Fulton 6], [Fulton - Laksov 1], [Kleiman 12], [Fulton - MacPherson 3]). Настоящая теорема 9.2 впервые не содержит никаких предположений об остаточной схеме. Следствие 9.2.1 также новое, если остаточная схема имеет большую размерность, чем должна была бы иметь. Следствия 9.2.2 и 9.2.3 ранее не встречались.

Аналогично в теореме 9.3 впервые допускается, чтобы множество двойных точек имело произвольную размерность. Доказательство следует работе [Fulton - Laksov 1] и основано на фундаментальной конструкции Лаксова.

Вычисление классов Сегре особых подсхем в примере 9.3.7, вероятно, новое; численные формулы в случае даны в статье [Piene 2].

Конструкция и простое доказательство формулы ветвления в примере 9.3.12 также новые. Она обобщает формулу из работы [Johnson 1] на произвольные морфизмы без ограничений на множество ветвления.

Следует отметить, что изредка встречаются другие предложения о сопоставлении чисел компонентам пересечения, когда их размерность превышает ожидаемую. Севери ([Sever! 7]) обсуждал это в случае отрицательной ожидаемой разности, Самюэль ([Samuel 1]) дал определение, использующее его алгебраические кратности. Эти определения, несмотря на их достоинства, нарушают принцип непрерывности и поэтому требуют привлечения иных понятий, чем те, которые рассматривались в классической теории пересечений или в этой книге.

1
Оглавление
email@scask.ru