Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523 524 525 526 527 528 529 530 531 532 533 534 535 536 537 538 539 540 541 542 543 544 545 546 547 548 549 550 551 552 553 554 555 556 557 558 559 560 561 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Замечания и литератураМы отметим лишь несколько Насколько нам известно, первые задачи об избыточных пересечениях были сформулированы в 1847 г. Сальмоном в работе [Salmon 1], хотя более ранние упоминания можно найти в статье [Jacobi 1]. Для нахождения степени двойственной поверхности к поверхности с кратной кривой он рассуждает, как в примере 9.3.11, и приходит к общей задаче нахождения «эквивалента» кривой для трех поверхностей, ее содержащих. Этот эквивалент вместе с числом точек пересечения поверхностей вне данной кривой должен давать произведение степеней рассматриваемых поверхностей. Эти идеи развивались затем в работе [Salmon - Fiedler 1]. Более общие формулы такого рода были даны Кэли ([Cayley 2, 3]). Он показал также, что многие исчислительные задачи — такие, как задача о числе кривых в семействе, касающихся данного набора кривых, — можно сформулировать как задачи об избыточных пересечениях (ср. пример 9.1.9 и § 10.4). Кэли отметил также, что такие задачи об избыточных пересечениях могут быть очень трудными. М. Нётер продолжил работы Сальмона и Кэли. Однако впечатляющие достижения великих геометров, таких, как Шаль, Шуберт и Цейтен, были получены не на пути, который предложил Кэли. Выражаясь современным языком, они применяли теорию пересечений на подходящих раздутиях исходных пространств, где собственные прообразы гиперповерхностей, соответствующих данным геометрическим условиям, пересекались уже собственно. На самом деле, однако, эти пространства параметров явно не упоминались, и теория пересечений применялась чисто формальным, символическим образом. Тем не менее трудно примирить ясность и четкость формулировок Кэли с яростным спором полстолетия спустя о таких фундаментальных проблемах, как принцип непрерывности. Надо сказать, что существовала непримиримая конкуренция между синтетическим и аналитическим подходами к геометрии, ср. [Chasles 4], с. 1168. Задачи об остаточных пересечениях были рассмотрены в девятнадцатом столетии сразу многими исследователями, в частности Нетером, Пиери, Капорали и Бертини. Совершенно общие пересечения в проективном пространстве были рассмотрены в работе [Severi 2]. Сегре ([Segre В. 1]) и Тодд ([Todd 3]) обобщили их на случай произвольных объемлющих многообразий размерности 3 и 4 и распространили результаты Севери от численных равенств до равенств по модулю рациональной эквивалентности. Тодд ([Todd 6]) дал вариант теоремы об остаточных пересечениях в высших размерностях, а Сегре ([Segre 4]) - общие формулы для эквивалентов, или вкладов. Много приложений можно найти в книгах [Salmon 3], [Enriques - Chisini 1], [Semple - Roth 1] и [Baker 1,2]. Классический подход к проблеме можно проиллюстрировать случаем, рассмотренным Сальмоном: вычислить вклад кривой, являющейся компонентой пересечения трех поверхностей в Такие индуктивные доказательства используют некоторые неявные предположения. Например, остаточная кривая Задача, с которой мы столкнулись в этом обсуждении, о сравнении свойств Использование современной формулы избыточного пересечения позволяет избавиться от проблем с общим положением, возникающих в классических индуктивных рассуждениях. Подход, которому мы следуем здесь, связан с методом из работы [Segre 4]; он подтверждает гипотезу Сегре, что общий вклад Формулы двойных точек также имеют долгую историю, восходящую к формуле Клебша для рода плоской кривой (ср. пример 9.3.2). Севери ([Severi 2]) дал общие численные формулы для проекций в проективные пространства, переоткрытые в работах [Holme 1] и [Peters - Simonis 1]. Тодд ([Todd 6]) дал формулу для класса рациональной эквивалентности циклов двойных точек, основанную на его формуле остаточного пересечения. Распространение ее на морфизмы произвольных неособых многообразий и простой подход, которому мы следуем здесь, стали возможны благодаря вычетной конструкции схемы двойных точек, принадлежащей Лаксову ([Laksov 3]). Обобщение на особые многообразия было проделано Хольмом, Джонсоном, а также Фултоном и Лаксовом (см. пример 9.3.6). Работа [Kleiman 12] содержит вариант теоремы об остаточном пересечении, которая применяется для доказательства формулы для тройных точек и множеств более высокой кратности (ср. пример 17.6.2). Мы отсылаем к статье [Kleiman 8] по поводу истории формул кратных точек. В работе [Ran 2] недавно дано новое применение формулы остаточного пересечения для доказательства формул о секущих и кратных точках. Большинство применений к классическим проблемам было заново разработано в примерах § 9.1, хотя случай коник, касающихся пяти данных (пример 9.1.9), содержится в статье [Fulton - MacPherson 2], а применение к мультисекущим (пример 9.1.13) взято у Ле Барца. Пример 9.3.3 предложен Лазарсфельдом, а пример 9.3.14 — Раном. Применение к кривым в Теорема об остаточном пересечении в § 9.2 основана на конструкции из работы [Laksov 3]. Оригинальная теорема накладывала более стеснительные требования на остаточную схему, которые постепенно ослаблялись по мере улучшения техники в теории пересечений (ср. [Fulton 6], [Fulton - Laksov 1], [Kleiman 12], [Fulton - MacPherson 3]). Настоящая теорема 9.2 впервые не содержит никаких предположений об остаточной схеме. Следствие 9.2.1 также новое, если остаточная схема имеет большую размерность, чем должна была бы иметь. Следствия 9.2.2 и 9.2.3 ранее не встречались. Аналогично в теореме 9.3 впервые допускается, чтобы множество двойных точек имело произвольную размерность. Доказательство следует работе [Fulton - Laksov 1] и основано на фундаментальной конструкции Лаксова. Вычисление классов Сегре особых подсхем в примере 9.3.7, вероятно, новое; численные формулы в случае Конструкция и простое доказательство формулы ветвления в примере 9.3.12 также новые. Она обобщает формулу из работы [Johnson 1] на произвольные морфизмы без ограничений на множество ветвления. Следует отметить, что изредка встречаются другие предложения о сопоставлении чисел компонентам пересечения, когда их размерность превышает ожидаемую. Севери ([Sever! 7]) обсуждал это в случае отрицательной ожидаемой разности, Самюэль ([Samuel 1]) дал определение, использующее его алгебраические кратности. Эти определения, несмотря на их достоинства, нарушают принцип непрерывности и поэтому требуют привлечения иных понятий, чем те, которые рассматривались в классической теории пересечений или в этой книге.
|
1 |
Оглавление
|