А.2. Факторы Эрбрана

Определение А.2. Пусть есть -линейный гомоморфизм конечно порожденных -модулей. Пусть

Мы скажем, что определено, если имеют конечную длину над А. Можно также сказать, что локализация является изоморфизмом для всех простых идеалов, кроме конечного их числа, которые к тому же максимальны. Положим в этом случае

Если есть умножение на элемент мы пишем ел вместо Заметим, что

для любого идеала

Для применений в основном тексте нужен только случай, когда а — не делитель нуля в и в этом случае ел Однако, как показывают следующие леммы, с алгебраической точки зрения более естествен общий случай.

Лемма А.2.1. Если то для любого

Доказательство. Это следует из леммы А. 1.1 и точной последовательности

Лемма А.2.2. Если определено, то

где сумма берется по всем простым идеалам в А.

Доказательство следует из леммы А. 1.2 и перестановочности ядра и коядра с локализациями.

Лемма А.2.3. Пусть — локальный гомоморфизм локальных колец, степень расширения полей вычетов. Пусть есть -линейный гомоморфизм -модуля Если то определено тогда и только тогда, когда определено и

Доказательство следует из леммы А. 1.3.

Лемма А.2.4. Пусть дана коммутативная диаграмма

с точными строками. Если два из выражений определены, то определено третье и

Доказательство. Согласно лемме о змее, приведенная диаграмма определяет точную последовательность

и все следует теперь из леммы А. 1.1.

Лемма А.2.5. Пусть суть -линейные эндоморфизмы модуля Если два из выражений определены, то определено и третье, и

Доказательство. Это следует из леммы А. 1.1 и точной последовательности

Отображения, помеченные символами и индуцированы и а остальные — тождественным отображением

Лемма А.2.6. Пусть конечно порожденный свободный А-модуль, а есть -линейный эндоморфизм. Тогда определено в том и только том случае, когда определено

Доказательство. (См. также пример А.2.5.) Пусть и представим -матрицей. Заметим, что изоморфизм тогда и только тогда, когда так что обе части равенства определены одновременно.

Если треугольная матрица, формула получается индукцией по из леммы А.2.4. В самом деле, существует прямое слагаемое инвариантное относительно и индуцированные отображения на на задаются меньшими треугольными матрицами. Другой легкий случай — когда изоморфизм, ибо тогда обе части формулы равны нулю.

Мы докажем сначала эту лемму при дополнительном предположении, что А — одномерная область целостности; только этот случай и нужен для нашей книги. В этом случае интересующие нас члены определены, если и тогда инъективно. Последнее видно из тождества

где I — единичная матрица. Нужное нам равенство принимает вид

Пусть К — поле частных кольца А. Определим гомоморфизм

по формуле

где а — любой ненулевой элемент из А, такой, что все коэффициенты матрицы лежат в А. Проверим корректность определения Пусть другой такой элемент из А. Тогда

по лемме А.2.5. Аналогично,

Так как формула леммы, очевидно, верна для скалярных матриц, четыре написанных равенства дают

Другое применение леммы А.2.5 показывает, что гомоморфизм.

Остается проверить, что тождественный нуль. Любой элемент из является произведением элементарных матриц. Поэтому достаточно убедиться, что А равен нулю на таких матрицах. Ясно, что А равен нулю на треугольных матрицах из а также на матрицах перестановок, которые дают изоморфизм над А. Это завершает доказательство леммы в частном случае.

В общем случае, согласно лемме А.2.2, можно считать, что А — локальное кольцо с максимальным идеалом Можно предполагать, что необратим и что имеет конечную длину, а потому А одномерно. (Если А нульмерно, обе части интересующей нас формулы равны нулю.) Пусть идеал элементов в А, которые аннулируются некоторой степенью максимального идеала. Так как индуцирует эндоморфизмы имеет конечную длину, то с помощью леммы А.2.4 мы можем ограничиться случаем Таким образом, не состоит из одних делителей нуля. Пусть К — полное кольцо частных кольца А. Определим отображение по той же формуле, что и выше, но требуя, чтобы а не был делителем нуля в А. Так как кольцо К артиново, оно является произведением локальных артиновых колец. Снова из стандартных элементарных операций со строками видно, что любой элемент из есть произведение треугольных матриц, и доказательство завершается, как раньше.

Лемма А.2.7. Предположим, что А — одномерное локальное кольцо и минимальные простые идеалы в А. Пусть конечно порожденный -модуль и не лежит ни в каком Тогда

Доказательство. Второе равенство следует из того факта, что а простой идеал. Что касается первого, то обе части его аддитивны относительно точных последовательностей -модулей. Поэтому можно предполагать, что где простой идеал в А (ср. пример A.2.2(iii)). Если максимален, то по лемме А.2.1. Если минимален, то а локализации в других минимальных простых идеалах равны нулю; поэтому нужная формула снова верна.

Лемма А.2.8. Пусть инъективные коммутирующие эндоморфизмы Пусть (соотв. эндоморфизм (соотв. индуцированный (соотв. Тогда определено одновременно с и

Доказательство. Существуют канонические изоморфизмы и потому утверждение становится очевидным. (См. пример по поводу обобщения на случай неинъективных

Пример А.2.1. Пусть многочлены из ( переменная) и унитарный степени Пусть свободный -модуль ранга Пусть эндоморфизм В, индуцированный умножением на G, и .

(i) R есть результант (См. [van der Waerden 4] о свойствах результантов. Утверждение (i) формальное. Поэтому его можно проверять, предполагая, что полностью разлагается на множители. Случай проверяется непосредственно.)

(ii) Если А — область целостности, то из леммы А.2.6 получаем

Пример А.2.2. Пусть конечно порожденный -модуль, а есть -линейный эндоморфизм

(i) Если сюръективен, то он инъективен.

(ii) Если имеет конечную длину, то определено и

(Пусть Возьмем такое что Тогда по леммам А.2.4 и А.2.1.)

(iii) В обозначениях леммы если определено, то эпределены

Пример Пусть конечно порожденный свободный Л-моцуль, его -линейный эндоморфизм. Он инъективен тогда и только тогда, когда не делит нуль в А, и в этом случае

Пример Для любого гомоморфизма конечно порожденных -модулей положим

когда эти длины конечны. Леммы обобщаются на этот случай. Если —проективные -модули ранга то где индуцированный гомоморфизм старших внешних степеней.

Пример А.2.5. Если А — область главных идеалов, лемма А.2.6 следует из теории элементарных делителей. Если А — одномерная область, целое замыкание А которой конечно над А, утверждение для А следует из утверждения для и леммы Этого случая достаточно для применений в гл. 1.