8.2. Кратности пересечений

Пусть неособое -мерное многообразие, а замкнутые подсхемы в чистых размерностей Образуем расслоенный квадрат

По лемме 7.1 каждая неприводимая компонента пересечения имеет размерность не меньше, чем к Говорят, что собственная компонента пересечения или что пересекаются собственно в если

Если собственная компонента, коэффициент при в классе пересечения называется ее кратностью пересечения в и обозначается Иными словами,

где правая часть определена в §7.1. Если положить и

есть коэффициент при в цикле

Если открытая подсхема в пересекающая и то по теореме

Если особое многообразие, но не содержится в множестве его особых точек, предыдущая формула, где неособая часть позволяет определить

Если каждая компонента собственна, класс пересечения определен как цикл

Предложение 8.2. Пусть собственная компонента многообразия Тогда

(b) Если локальное кольцо вдоль является кольцом Коэна—Маколея, то

(c) Если многообразия, то в том и только в том случае, когда максимальный идеал есть сумма простых идеалов многообразий в этом случае регулярные кольца.

Доказательство. Утверждения (а) и (b) следуют из предложения 7.1. Согласно предложению 7.2 (и примеру 7.2.1, если многообразие), кратность пересечения равна 1 в точности тогда, когда существует открытое подмножество пересекающее и такое, что диагональ пересекает (в схемном смысле) по приведенному многообразию Так как как схема изоморфно это влечет за собой утверждение об эквивалентности в (с). Чтобы показать регулярность положим и пусть простые идеалы многообразий в А. Пусть . Из точной последовательности

и отождествления следует, что

и равенство имеет место тогда и только тогда, когда регулярно

(лемма А.6.2). То же самое верно для Так как

Поскольку пространства слева должны иметь максимальную размерность, откуда следует заключение.

Замечание 8.2. Если основное поле алгебраически замкнуто и (замкнутая) точка, последнее равенство разлагает кокасательное пространство к в точке в прямую сумму кокасательных пространств к Кратность пересечения равна единице тогда и только тогда, когда неособы и трансверсально пересекаются в Если условие состоит в том, что неособы в общей точке многообразия пересекаются трансверсально в общей точке многообразия

Пример 8.2.1. Пусть равноразмерные замкнутые подсхемы неособого многообразия У. Неприводимая компонента пересечения называется собственной компонентой, если Кратность пересечения коэффициент при в классе где есть -кратное диагональное вложение Предложение 8.2 верно для сомножителей.

Пример 8.2.2. Пусть гиперповерхности на -мерном многообразии У. Предположим, что рациональная над основным полем (замкнутая) точка на неособа на и на каждом все

V, касаются между собой в точке -компонента Тогда

(Используем пример 8.1.10.)

Пример 8.2.3 (ср. [Samuel 2]). Пусть К — поле характеристики — элемент из К, не являющийся степенью. Пусть - аффинная плоскость над К с координатами и пусть . Тогда

(a) Z есть собственная компонента пересечения

Если основное поле расширить до поля, содержащего корень степени из а, то пересечение все еще неприводимо, но индекс пересечения становится равен (Заметим, что регулярно, но не гладкое над в точке

Пример 8.2.4. Пусть как в начале этого параграфа, и вложение регулярно. Тогда кратность пересечения определенная в этом параграфе, совпадает с введенной в § 7.1. (Используем следствие 8.1.1 с Аналогично, если регулярно вложенные подсхемы неособого многообразия собственная компонента то кратность пересечения полученная пересечением с диагональю, совпадает с кратностью, полученной в результате пересечения диагонали с пример 8.1.5). В частности, если гиперповерхности в , введенная здесь кратность пересечения совпадает с определенной в примере 7.1.10.

Пример 8.2.5. Пусть —конечный сюръективный морфизм неособых многообразий. Пусть подмногообразия в Пусть неприводимая компонента и предположим, что существует ровно одна неприводимая компонента прообраза которая содержится в V или Предположим, что собственная компонента и что этален в общей точке компоненты Тогда собственно пересекаются в и

(Из нашего предположения вытекает, что равно в окрестности Поэтому есть коэффициент при в классе где диагональное вложение в (ср. теорему 6.2(c)). Затем применим теорему к диаграмме

Пример 8.2.6. Пусть подмногообразие в и пусть подмногообразия в -собственная компонента не лежащая в особом множестве У. Тогда для общей проекции где

(Предположения примера 8.2.5 выполнены для общей проекции.) В этом заключался один из методов Севери сведения кратностей пересечений на произвольных многообразиях к пересечениям на

проективном пространстве ([Severi 9], с. 203). Аналогичную конструкцию использовал Шевалле ([Chevalley 1]) в своем алгебраическом определении кратностей пересечений.

Пример 8.2.7. Кратность пересечения задается длиной, как в п. (b), если являются схемами Коэна — Маколея, т. е. если все локальные кольца этих схем являются кольцами Коэна — Маколея. В самом деле, их произведение тоже схема Коэна — Маколея