14.3. Детерминантальная формула

Пусть гомоморфизм векторных расслоений рангов над чисто -мерной схемой Пусть флаг подрасслоений расслоения

и пусть ассоциированное расслоение флагов (§ 14.2) с универсальным флагом и проекцией Индуцированный гомоморфизм

определяет сечение расслоения При этом отображает множество нулей на детерминантальное множество Пусть

— морфизм (приведенных схем), индуцированный Конструкция из § 14.1 дает локализованный старший класс Чженя

Определим детерминанталъный класс формулой

Теорема 14.3. Пусть так что Предположим, что Тогда

(a) Образ равен

(b) Каждая неприводимая компонента имеет коразмерность не больше в Если то положительный цикл с носителем .

(c) Если и X — схема Коэна — Маколея, то схема Коэна — Маколея и

(d) Образование коммутирует с отображениями Гизина и собственными прямыми образами.

Доказательство. Утверждение (d) означает, что если морфизм, прообразы на индуцированный

морфизм то формулы (i), (ii), (iii) предложения 14.1(d) остаются верными после замены на Для доказательства образуем расслоенный квадрат

Тогда так что (d) следует из предложения коммутирования прямого образа с отображениями Гизина (предложение 1.7, теорема и функториальности прямого образа (§ 1.4).

По предложению 14.1(a)

По лемме А.9.1 (ii)

По следствию 14.2

что доказывает

Докажем теперь в «универсальном локальном случае». А именно, аффинное пространство с координатами

— тривиальные расслоения; базис в тривиальное подрасслоение расслоения с базисом задается матрицей В этом случае определяется обращением в нуль всех -миноров матрицы, состоящей из первых столбцов для Эта детерминантальная схема является неприводимым многообразием коразмерности и морфизм бирационален. Так как

— неособое многообразие и то является регулярным сечением расслоения (лемма На самом деле, как доказали Игон и Хохстер, есть многообразие Коэна — Маколея (ср. лемма А.7.2). По предложению

Таким образом, доказаны в этом специальном случае.

Для доказательства в общем случае достаточно проверить их локально по X, так как (согласно образование согласовано

с ограничением на открытые подмножества. Поэтому можно предполагать, что существует морфизм такой, что получаются как прообраз из рассмотренной универсальной ситуации. Пусть универсальная детерминантальная подсхема в график Так как неособо, у является регулярным вложением. По (d) и рассмотренному частному случаю

Теперь следуют из леммы 7.1 и предложения 7.1.

Замечание 14.3. Другим способом класс можно построить так. Пусть Нот а проекция. На имеется канонический (тавтологический) гомоморфизм и из Тогда имеет чистую коразмерность в в самом деле, локально есть произведение X на универсальную ситуацию, рассмотренную в доказательстве теоремы. Гомоморфизм определяет сечение для которого Тогда

Действительно, (с) влечет за собой и тогда следует из Это рассуждение доказывает также

Следствие однозначно определяются свойствами теоремы 14.3.

Пример 14.3.1. Чтобы сформулировать более общий критерий совпадения нам нужно понятие глубины. Для замкнутой подсхемы схемы X глубина определяется как наибольшее целое число такое, что для любой точки идеал в локальном кольце схемы X в содержит регулярную последовательность длины d.

Пусть Если и цикл множества то для всех В общем случае и равенство достигается тогда и только тогда, когда В случае тривиального линейного расслоения это покрывает предложение 14.1(c). Если X — схема Коэна — Маколея, это содержит теорему 14.3(c) и ее обращение. (Утверждения локальны, поэтому можно считать, что X аффинна и что мы находимся в ситуации конца доказательства теоремы 14.3:

Существует проективная резольвента над координатным кольцом где идеал многообразия Шуберта Регулярная последовательность, определяющая остается регулярной на тогда и только тогда, когда обратный образ комплекса остается резольвентой идеала в координатном кольце схемы каждое условие эквивалентно обращению в нуль высших групп координатных колец над координатным кольцом Эти условия встречаются, когда следствие 8). Теперь заключение следует из предложения 7.1.)

Пример 14.3.2. Пусть векторное расслоение ранга над n-мерным многообразием Пусть сечения Для разбиения положим

(a) где и существует классах в такой, что

Если и X — многообразие Коэна—Маколея или если то где схемная структура на задается обращением в нуль подходящих определителей. (Пусть тривиальное расслоение с базисом ем — подрасслоение порожденное ей Применим теорему 14.3 к отображению заданному набором

представляет

(с) Если единицами, то

представляет (Надо использовать лемму для вычисления

(d) Если порождается своими сечениями и основное поле бесконечно, то для общих сечений расслоения

(Пусть как в и V — соответствующее множество вырождения для канонического гомоморфизма на В свете замечания 14.3 достаточно применить пример 12.1.11 к подсхеме V расслоения

Пример 14.3.3. Проективные характеры. Пусть X — неособое -мерное подмногообразие в и

— флаг подпространств в Положим

Здесь касательная -плоскость к Пусть Для общего подсхема в X коразмерности и

где (Пусть и рассмотрим диаграмму

Тогда

Степень обозначается через или просто и называется проективным характером многообразия (ср. Из (1) мы имеем

Это выражает внешние инварианты в терминах внутренних инвариантов и класса гиперплоскости

Пусть общее линейное подпространство в размерности Тогда характеры определяют характеры Характер для равен характеру для где для (Это следует из геометрического определения или из Аналогично, если X есть проекция многообразия лежащего в большем проективном пространстве, характеры X совпадают с некоторыми характерами (ср. [Severi 2]).

-й класс многообразия обозначаемый , определяется так:

i-й ранг есть

Таким образом, и

для заданной общей -плоскости А, тогда как

для заданной общей -плоскости В. Поэтому соответствует разбиению единицами, тогда как его сопряженному Из (2) и лемм А.9.1 и А.9.2 (ср. примеры 14.4.15 и 12.3.6) получаем