Замечания и литература

Принцип сохранения индекса, известный также как принцип специального положения, или принцип непрерывности, имеет долгую и бурную историю. Со времен Понселе он являлся ключевым средством исчислительной геометрии. Его ранние обоснования были основаны на том факте, что число решений полиномиального уравнения, посчитанное должным образом, остается неизменным при непрерывной вариации коэффициентов многочлена.

Возражения появились, когда этот прицип был провозглашен как общий закон о вариации геометрических условий. Для каждой такой формулировки находился контрпример (ср. примеры 10.2.3 и 10.2.5), тогда добавлялись новые гипотезы, чтобы исключить такие примеры, и так далее. Трудности исчезли, когда в основу этого принципа была положена теория пересечения на подходящем пространстве параметров. Севери ([Severi 4]) признает это в 1912 г., чтобы успокоить бушевавшие страсти. Как мы уже говорили, Кэли ([Cayley 2|) пропагандировал применение теории пересечений к исчислитепьным задачам еще в 1868 г., когда особых возражений не возникало. Возможно, сопротивлению этой идее способствовало желание сохранить геометрию «чистой», не запятнанной координатами или пространствами параметров.

Мы рекомендуем статьи [Zeuthen - Fieri 1], [Berzolari 2], [Dieu-donne 1] и [Kleinian 7] по поводу обсуждения роли принципа непрерывности в исчислительной геометрии и дополнительной литературы.

Следует заметить, что не существует единого принципа непрерывности для всех ситуаций. По мере развития теории пересечений конструкции, которые могли быть обоснованы для вариации в семействе, приводили к все более сильным формулировкам рассматриваемого принципа. Так, теорема 10.2 дает вариант, пригодный для особых и неполных пространств параметров. Севери ([Severi 11]) пытался определить пересечения на неполных многообразиях или на многообразиях по «модулю» замкнутого подмножества. Идеи Севери были исследованы Цобелем ([Zobel 2, 4]); идеи последнего имеют сходство с развитыми в § 10.4.

Теория алгебраической эквивалентности развивалась параллельно теории рациональной эквивалентности. Современные конструкции были даны в работах [Weil 5] и [Samuel 3] с использованием определения из примера 10.3.2. Применение тонких отображений Гизина в настоящем тексте дает как более простую конструкцию, так и более общие результаты. Главная причина этого состоит в том, что, допуская избыточные пересечения, мы можем работать прямо с циклами на объемлющем пространстве семейства, даже если они не пересекают собственно все слои.

Результаты, аналогичные примерам 10.1.6 и 10.1.7, содержатся в работе [Samuel 5].

Шаль ([Chasles 10]) дал формулу для числа коник в однопараметрическом семействе, касающихся данной кривой. Альфан, Шуберт и почти все остальные исчислительные геометры давали формулы для числа многообразий в семействе, касающихся заданных многообразий.

Общая формула из § 10.4 для плоских кривых появилась в статье [Zeuthen 3], § 165. Доказательство, приведенное в § 10.4, представляет совместную работу с Макферсоном. По поводу обобщений на высшие размерности см. [Zobel 4] и [Fulton - Kleiman - MacPherson 1].

Задача о касаниях — лишь одна из бесчисленного количества исчис-лительных задач, которые могут быть решены при помощи теории пересечений. В дополнение к уже упомянутой классической литературе читатель может найти сотни примеров в книге [Lemoyne 1]. Недавно исчислительная геометрия сыграла важную роль в решении проблемы о модулях кривых, см. особенно [Arbarello - Cornalba - Griffiths - Harris 1], [Harris - Mumford 1], [Eisenbud - Harris 1], [Harris 1] и [Mumford 7].

В 1866 г. Шаль ([Chasles 5]) поставил задачу нахождения характеристик для семейства всех плоских кривых степени Для ответы были даны Мэйяром и Цейтеном; проверка их ответов — предмет некоторых современных исследований. Для проблема остается открытой.

Литературу по трансцендентному изучению вариации алгебраических циклов см. в § 19.3.6.