20.3. Специализация

Пусть регулярные схемы, регулярное вложение коразмерности d. Предположим, что нормальное расслоение тривиально или что хотя бы старший класс Чженя равен нулю. Пусть и вложение

Для схемы X над положим Заметим, что

согласно нашим соглашениям об относительной размерности. Из § 1.8 мы имеем точную последовательность

где прямой и обратный образ соответствующего вложения в Согласно § 6.2, имеется гомоморфизм Гизина

Так как (теорема 6.3), существует единственный гомоморфизм

такой, что для всех а Этот гомоморфизм называется отображением специализации.

Для любого морфизма схем над пусть обозначают индуцированные морфизмы.

Предложение Если собственный и а то .

(b) Если плоский морфизм или регулярное вложение и то

Доказательство. Это следует из перестановочности с собственными прямыми образами, плоскими обратными образами и произведениями-пересечениями

Пусть где кольцо дискретного нормирования с полем вычетов и полем частных Для схемы Х над 5 схемы X и Х° являются алгебраическими над и В этом случае допускает простое описание на уровне циклов: если подмногообразие в и V — замыкание в плоско над

Следствие 20.3. Если X — гладкая схема над такая же, как выше, то отображение специализации

— гомоморфизм колец, т. е. а сохраняет произведение-пересечение.

Доказательство. Для данных подмногообразий пусть их замыкания в Тогда плоская подсхема в которая ограничивается до Vе над 5°. Применяя (b) предложения 20.3 к регулярному вложению получаем

что и требуется.

Аналогичным образом все наши остальные операции пересечения согласованы со специализацией.

Пример 20.3.1. Если гладкая схема над где кольцо дискретного нормирования, то гомоморфизмы в коммутативной диаграмме

являются гомоморфизмами градуированных колец.

Пример 20.3.2. Пусть кольцо дискретного нормирования и морфизм -схем, причем гладкая над Пусть замкнутая подсхема в Предположим, что а циклы на и что Тогда

(Это уточняет следствие 20.3; доказательство аналогичное.)

Пример 20.3.3. Пусть -схема над дивизоры Картье или даже псевдодивизоры (ср. § 2.2) на Пусть V — подсхема в X, плоская над и относительной размерности Предположим, что собственно нал Пусть обозначают ограничения на Тогда

В самом деле, для любого псевдодивизора и цикла а на

Пример 20.3.4. Гомоморфизм Римана — Роха коммутирует с отображением специализации определяемым, как для рациональной эквивалентности, в предположении, что нормальное расслоение к тривиально. Тогда диаграмма

коммутативна. В частности, когерентный пучок на X, плоский над то обобщает равенство эйлеровых характеристик в случае собственной схемы X над

Пример 20.3.5 (ср. [SGA 6] X, доп., и [Fulton 2], § 4). Пусть полное кольцо дискретного нормирования с полем частных К и полем вычетов Пусть К их — алгебраические замыкания К их. Для схемы X над существуют гомоморфизмы специализации

согласованные с нашими операциями пересечения. (Для любого конечного расширения кольца с полем частных К и полем вычетов мы имеем отображение специализации

построенное по -схеме Переход к прямому пределу по дает

Если X гладка над имеется коммутативная диаграмма

где этальные -адические когомологии.

Пример 20.3.6. Пусть схема X гладкая и собственная над где такие же как в предыдущем примере. Тогда

(Пусть базис дивизоров по модулю численной эквивалентности на На существуют -циклы Тогда

так что независимы.)