Замечания и литература
Специализация циклов и собственных пересечений изучалась Самюэлем ([Samuel 3]) в геометрическом случае и Шимурой ([Shimura 1]) над произвольным кольцом дискретного нормирования. Общая задача о сохранении рациональной эквивалентности при специализации обсуждалась Гротендиком в [SGA 6], доп., и была решена Фултоном ([Fulton 2], 4). Гротендик интересовался также конструкцией умножения в 
для схемы X, гладкой над кольцом дискретного нормирования; это частный случай теоремы 20.2, которая является новой. Случай арифметических поверхностей см. в работе [Lichtenbaum 1].
Конструкция групп рациональной эквивалентности циклов на нётеровой схеме, ковариантных для собственных морфизмов, впервые появилась в статье [Fulton 2]; предшествовавшие ей теории,
зующие градуированные АГ-группы, обсуждаются в [SGA 6]. Определение из § 20.1, основанное на понятии относительной размерности, является новым; оно позволяет распространить на схемы над регулярной базой конструкции и доказательства, известные над полем. Клейман ([Kleiman 12]) был одним из тех, кто призывал строить теорию пересечений над возможно более общими базисными схемами. Однако до появления интересных применений успех в общности следует сопоставлять с потерей простоты.
Для схем, гладких над кольцом целых алгебраических чисел, Аракелов ([Аракелов 1]) предложил определение произведения-пересечения, распространенное и на бесконечные простые точки, что очень подходит для применений к теории чисел, ср. [Neron 1]. Такое кольцо должно сюръективно отображаться на кольцо, построенное в § 20.2. Аракелов предположил также, что в этом контексте должна выполняться теорема Римана — Роха. Недавние продвижения в этом направлении были сообщены Фалтингсом и Шпиро.
Определение пересечений, использующее 
и обсуждавшееся в § 20.4, было предложено Серром ([Serre 4]) в случае собственных пересечений. Обобщение на несобственные пересечения алгебраических схем, использующее теорему Римана — Роха, было заимствовано из работы [Fulton - MacPherson 1]; численные следствия этой формулы, когда ожидаемая размерность равна нулю, были доказаны в статье [de Boer 1].
Теорема Римана — Роха для схем конечного типа над регулярной базой и ее следствие 
являются новыми. Ваграйх (не опубликовано, 1966) был инициатором изучения относительных циклов и теоремы Римана — Роха над базисной схемой, хотя его результаты сильно отличаются от наших.
Формула, связывающая рациональную эквивалентность с высшей -теорией, была открыта Блохом ([Bloch 1]) и установлена Квилленом в работе [Quillen 2], когда он доказал гипотезу Герстена. Тот факт, что 
имеет смысл для произвольной схемы X, был другим ранним указанием на то, что возможна конструкция кольца рациональной эквивалентности для более общих схем, чем гладкие квази-проективные многообразия над полем. Материал § 20.5 основан на лекциях Блоха, Жилле и Грейсона в Институте перспективных исследований в 1981-1982 гг.
