17.1. Биварнантные классы рациональной эквивалентности

Определение 17.1. Пусть морфизм. Для каждого морфизма образуем расслоенный квадрат

где штрихом помечены индуцированные морфизмы. Еивариантный класс с из это набор гомоморфизмов

для всех и всех к, в следующем смысле согласованный с собственными прямыми образами, плоскими обратными образами и произведениями-пересечениями:

(C) Если собственный, -произвольный морфизмы и если образовать расслоенную диаграмму

то для любых

Если плоский морфизм относительной размерности произвольный морфизм и если образовать

расслоенную диаграмму то для любого

(С) Если — морфизмы и — регулярное вложение коразмерности и если образовать расслоенную диаграмму

то для любых

Обозначения. Группа обозначается также через или Гомоморфизмы определяемые элементом с обычно обозначаются просто с с указанием, откуда и куда они действуют. Так как эти гомоморфизмы обобщают -произведение предыдущих глав, мы иногда будем писать спа вместо для Определим или как прямую сумму групп по всем

Собственные прямые образы и плоские обратные образы определены на уровне циклов. Произведение-пересечение также определено на уровне циклов, если есть вложение главного дивизора Картье (замечание 2.3).

Теорема 17.1. Пусть дан морфизм Предположим, что для всех и всех к даны гомоморфизмы

удовлетворяющие формулам из пп. для любых собственных или плоских соответственно, и удовлетворяющие формуле из в том случае, когда это вложение точки Тогда гомоморфизмы пропускаются через рациональную эквивалентность и получающиеся гомоморфизмы определяют бивариантный класс в

Доказательство. Покажем сначала, что с пропускается через рациональную эквивалентность. Так как с согласован с собственными

прямыми образами, достаточно (предложение 1.6) показать, что если V — подмногообразие в доминирующее и имеющее размерность к то

Так как для морфизм есть композиция вложения (0) в с последующим открытым вложением (которое является плоским морфизмом), то

где для любого а (пример 3.3.6), так что с пропускается через рациональную эквивалентность.

Остается показать, что с удовлетворяет для произвольного регулярного вложения Пусть -нормальное расслоение к -деформационное пространство для деформации (§ 5.1). Пусть

— канонические вложения и проекция. Пусть обратный образ над с проекцией единственный гомоморфизм Существует делающий коммутативной диаграмму

Тогда Это легко следует из конструкции в § 6.2: если то

Аналогичная диаграмма имеется для замены базы вместо как и аналогичное описание для Из расслоенной диаграммы

видно, как на первом шаге, что с коммутирует с Так как, согласно с коммутирует с а также с (согласно с коммутирует с Поскольку с коммутирует с по с коммутирует с что и требовалось установить.

Пример 17.1.1. Псевдодивизор на схеме X определяет бивариантный класс Если - морфизм , определим как определения 2.2.4 и

2.3). (Главный результат гл. 2 заключается в проверке условий теоремы 17.1.)