3.2. Классы Чженя

Пусть векторное расслоение над схемой Рассмотрим формальный степенной ряд

Определим многочлен Чженя

как обратный степенной ряд (чуть позже будет показано, что это действительно многочлен). Более явно,

Здесь рассматриваются как эндоморфизмы а произведения обозначают композицию; так как все такие эндоморфизмы коммутируют (предложение 3.1 (b)), двусмысленность исключена. Для а мы обозначаем через элемент из полученный применением эндоморфизма .

Полный класс Чженя есть сумма

Другими словами, для всех Аналогично полный класс Сегре есть

Хотя в эту формальную сумму входит бесконечное число членов, при применении к в а встречается лишь конечное число ненулевых членов.

Теорема 3.2. Классы Чженя обладают следующими свойствами:

(a) (обращение в нуль). Для любого векторного расслоения если .

(b) (коммутативность). Для любых векторных расслоений над X, целых чисел и цикла а на X

(c) (формула проекции). Пусть векторное расслоение над X, а собственный морфизм. Тогда для любых циклов а на X и любых

(d) (обратный образ). Пусть векторное расслоение над плоский морфизм. Тогда для любых циклов а на X и всех

(e) (сумма Уитни). Для любой точной последовательности

векторных расслоений над X имеем

т. е.

(f) (нормализация). Если линейное расслоение над многообразием дивизор Картье на X, такой, что то

Заметим, что из (с) и (f) следует согласованность этого определения класса Чженя для линейного расслоения с данным в § 2.5. В гл. 14 будет дано обобщение формулы из (f) на расслоения произвольного ранга.

Доказательство. Свойства (b), (с), (d) и (f) следуют прямо из соответствующих фактов о классах Сегре, установленных в предложении

3.1. Есть несколько способов доказывать (а) и (е). Следующее

доказательство основано на конструкции расщепления, которая будет полезна в дальнейшем. Два других коротких доказательства намечены в примерах 3.2.9 и 3.2.10.

Конструкция расщепления. Пусть задан конечный набор векторных расслоений над схемой Тогда существует плоский морфизм такой, что

(1) инъективен;

(2) для каждого из расслоение обладает фильтрацией подрасслоений

с линейными факторрасслоениями

Для одного расслоения морфизм строится индукцией по рангу Пусть проекция. Тогда инъективен в силу следствия имеет подрасслоение ранга 1. Если по индукции получаем с инъективным гомоморфизмом и фильтрованным расслоением Положим инъективен и имеет индуцированную фильтрацию. Процесс может быть повторен для любого конечного набора расслоений.

Теперь, чтобы доказать достаточно в силу конструкции расщепления доказать, что

где обладает фильтрацией

с линейными факторрасслоениями Если как в конструкции расщепления, то

для и из инъективности следует

Лемма 3.2. Пусть расслоение обладает, как выше, фильтрацией с линейными факторами Пусть сечение расслоения и пусть множество его нулей. Тогда для любого k-цикла а, на X существует -цикл на такой, что

в В частности, если не обращается в нуль, то

Доказательство. Сечение определяет сечение факторрасслоения Если схема нулей сечения то определяет псевдодивизор на X (§ 2.2). Пересечение с дает класс для которого

где вложение По формуле проекции (предложение

Расслоение имеет сечение, индуцированное нулями которого является С помощью индукции по член в скобках в правой части предыдущей формулы представляется циклом на что завершает доказательство.

Вернемся к доказательству Пусть ассоциированное проективное расслоение. Универсальное подрасслоение соответствует тривиальному линейному подрасслоению в т. е. не обращающемуся в нуль сечению расслоения Так как имеет фильтрацию с линейными факторрасслоениями применима лемма 3.2, которая дает

Пусть и пусть (соотв. есть элементарная симметрическая функция (соотв. от Тогда по предложению так что приведенное выше равенство можно переписать как

Поэтому, полагая мы получаем для всех

Следовательно, для любого а

Из определения классов Сегре и формулы проекции вытекает, что

Это значит, что

а это эквивалентно

Формула суммы Уитни (е) также легко следует из Если дана точная последовательность векторных расслоений, как в (е), то, применяя конструкцию расщепления, мы находим морфизм с инъективным такой, что имеет фильтрацию с линейными факторами имеет фильтрацию с линейными факторами Тогда обладает индуцированной фильтрацией с линейными факторами Формула

следует из а соответствующая формула на X вытекает из инъективности

Замечание 3.2.1. Единственность. Классы Чженя однозначно определяются свойствами (с), (d) и (f) теоремы 3.2. Действительно, формула была доказана с использованием лишь этих свойств, и это определяет классы Чженя при помощи конструкции расщепления, а также п. (d).

Замечание 3.2.2. Обозначения и соглашения. Согласно закону коммутативности (b), любой многочлен от классов Чженя векторных расслоений на X действует на Если для векторных расслоений на X и а мы обозначаем через

результат применения этого многочлена к а. Если однородный многочлен веса где имеет вес то ргла Часто пишут просто вместо Как мы увидим в гл. 8, для неособого многообразия X действие восстанавливается по классу так что в этом случае информация не теряется. В любом случае можно писать

вместо степени нульмерной компоненты

Очень полезно другое сокращение. Пусть многочлен от классов Чженя на X, и пусть дан морфизм Тогда для любого а можно записывать через результат применения к а

того же многочлена от обратных образов расслоений, т. е.

Если собственный морфизм, формула проекции (с) читается тогда просто как для любого а Аналогично, если плоский морфизм, для любого

В гл. 17 будут определены контравариантные функторы А с -произведениями

Тогда многочлены от классов Чженя расслоений на X будут элементами группы Соглашения, принятые выше, превратятся тогда в часть общих обозначений.

Замечание 3.2.3. Принцип расщепления. Предположим, что нужно доказать некоторую универсальную формулу, касающуюся классов Чженя конечного числа векторных расслоений, определенным образом связанных друг с другом. Предположим, что эта формула верна для расслоений, обладающих фильтрацией с линейными факторрасслоениями, и что связи между расслоениями сохраняются при переходе к плоским обратным образам. Тогда формула верна в полной общности. Это следует из конструкции расщепления и свойства (d) для обратных образов.

Если многочлен Чженя расслоения ранга разлагается на линейные множители,

то называются корнями Чженя расслоения Такое разложение можно рассматривать чисто формально: классы Чженя расслоения есть элементарные симметрические функции от Либо можно пользоваться конструкцией расщепления: если имеет фильтрацию с линейными факторами то

где Любой симметрический многочлен от корней Чженя расслоения может быть представлен как многочлен от классов Чженя этого расслоения. Так, формула суммы Уитни утверждает, что для точной последовательности из (d) корни Чженя расслоений вместе дают корни Чженя расслоения Приведем другие применения.

(a) Двойственные расслоения. Классы Чженя двойственного расслоения задаются формулой

Мы уже видели это для линейных расслоений (предложение Если обладает фильтрацией с факторами то имеет фильтрацию с факторами Поэтому если корни Чженя расслоения то — корни Чженя для что и дает указанную формулу.

(b) Тензорные произведения. Классы Чженя тензорного произведения просто выражаются в терминах корней Чженя. А именно, если корни Чженя расслоения а корни Чженя расслоения то суммы

являются корнями Чженя для Это следует из принципа расщепления и соответствующего результата для линейных расслоений (предложение Таким образом, есть элементарная симметрическая функция от которая записывается как универсальный многочлен от симметрических функций т. е. как многочлен от классов Чженя расслоений и Явные формулы для таких многочленов в общем случае довольно сложны (см. пример 14.5.2). Однако в частном случае линейного расслоения имеется полезная формула для старшего класса Чженя

Вообще

что следует из тождества

где есть элементарная симметрическая функция от Другую формулировку см. в примере 3.2.2.

(c) Внешние степени. Снова пусть корни Чженя расслоения Тогда

В частности,

Для этого используется тот факт, что если точная последовательность с линейным расслоением то существует точная последовательность (ср. [Hirzebruch 1], 4.13).

Замечание 3.2.4. В процессе доказательства теоремы 3.2 было доказано тождество

Здесь расслоение ранга над схемой проекция Другим способом это можно получить из того, что имеет нигде не обращающееся в нуль сечение; тогда по формуле Уитни Вместе с замечанием 3.2.3 (b) это дает требуемую формулу.

Дополнительные тождества для классов Чженя даны в гл. 14, а также в примерах.

Пример 3.2.1. Пусть как в § 3.1, и Тогда пра) для любого

Пример 3.2.2. Пусть векторное расслоение ранга линейное расслоение. Тогда для любого

(Достаточно приравнять коэффициенты при в формуле для из замечания 3.2.3.) Другая эквивалентная формулировка:

где .

Пример 3.2.3. Характер Чженя векторного расслоения определяется по формуле

где корни Чженя расслоения

Первые несколько членов имеют вид

где Тогда член имеет вид где определяются по индукции с помощью формул Ньютона:

Для любой точной последовательности векторных расслоений, как в теореме 3.2(e),

тогда как для тензорных произведений

Пример 3.2.4. Класс Тодда векторного расслоения определяется формулой

где

числа Бернулли), а корни Чженя расслоения Первые несколько членов таковы:

Для точной последовательности векторных расслоений, как в теореме

Пример 3.2.6 (ср. [Borel - Serre 1], лемма 18). Пусть векторное расслоение ранга Тогда

(Если корни Чженя расслоения то слева стоит

т. е. то же, что и справа.)

Пример 3.2.6. Пусть корни Чженя расслоения Тогда суммы по всем -кам неотрицательных целых чисел в сумме равных образуют корни Чженя симметрической степени расслоения Для явные формулы даются в примере 14.5.1.

Пример 3.2.7. (а) Для расслоений над X запишем

и пусть есть член в этом разложении. Если то

для всех а где проектирует на Обобщения этой формулы будут даны в гл. 14.

(b) Для любого элемента группы Гротендика векторных расслоений на X (ср. § 15.1) корректно определены класс Чженя и степенной ряд Если то

Корректность следует из формул Уитни.

Пример 3.2.8. Пусть схемы, проекции на векторные расслоения над а Тогда (ср. пример 2.5.3)

и

Пример 3.2.9. Свойство (а) обращения в нуль для классов Чженя следует из формулы суммы Уитни (е) и принципа расщепления.

Пример 3.2.10. Есть другие простые доказательства формулы суммы Уитни (е):

Случай 1: Достаточно показать, что для Пусть Рассмотрим диаграмму

На композиция определяет сечение схемой нулей которого является Поэтому

Теперь

и

Поэтому если

Общий случай. Пусть проекция и универсальное линейное факторрасслоение для Рассмотрим коммутативную диаграмму векторных расслоений над с точными строками и столбцами:

Тогда по случаю 1 и индукции. Вместе это дает

для всех В силу инъективности это завершает доказательство.

Общий случай можно также вывести из случая 1, реализуя раздутие вдоль как проективное расслоение над где включается в точную последовательность

Это дает коммутативную диаграмму

Поэтому

Пример 3.2.11. Из точной последовательности

на (дополнение следует, что

где класс гиперплоскости. Вообще если векторное расслоение над неособым многообразием X, а проекция, то

где (Согласно В.2.7 и В.5.8 дополнения В, существует точная последовательность

Пример 3.2.12. Формула присоединения. Пусть замкнутое вложение коразмерности d неособых многообразий с нормальным расслоением Из точной последовательности (дополнение

имеем Если X есть пересечение дивизоров то

Из формулы проекции получается

Например, если то

где частности,

Пример 3.2.13. Пусть — неособое -мерное многообразие с касательным расслоением Полный класс Чженя многообразия X — это Его эйлерова характеристика — это Например, если эйлерова характеристика равна где род кривой X (другие определения рода см. в гл. 15). Класс Тодда многообразия X — это Его род Тодда — это При род Тодда равен

Пример 3.2.14. Пусть С — эффективный дивизор Картье на полной поверхности Тогда где нормальное расслоение к Если неособые и вложение то

Иначе говоря,

где канонический класс дивизоров на род кривой С. Если X — неособая поверхность степени то

Пример Пусть X есть -мерное абелево многообразие, а замкнутое вложение с нормальным расслоением Тогда где

Отсюда следует, что таких вложений нет при Если вложение возможно, только если (ср. следствие 6.3). Например, если должно иметь степень 10; пример такого абелева многообразия построен в статье [Ногrocks - Mumford 1].

(b) Пусть есть -кратное вложение Веронезе, Тогда

где Для поверхности Веронезе

Пусть вложение Сегре Тогда

где проекция X на сомножитель.

Пример 3.2.16. Пусть векторное расслоение ранга над его сечение и схема нулей этого сечения.

(i) Для любого а существует класс образ которого в есть В частности, если то (Надо использовать принцип расщепления и лемму 3.2.)

(ii) Если X — чисто -мерное многообразие и регулярное сечение расслоения то чисто -мерно и

Эти факты будут передоказаны и обобщены в § 14.1 (в проективном неособом случае см. [Grothendieck 2], § 5).

Пример 3.2.17. Пусть подрасслоение векторного расслоения с факторрасслоением Существует регулярное сечение расслоения над нулями которого служит (дополнение Согласно предыдущему примеру,

где В неособом проективном случае эту формулу можно найти в работе [Ilori - Ingleton - Lascu 1].

Пример 3.2.18. Пусть — гладкое подмногообразие коразмерности d в гладком многообразии X с нормальным расслоением

Применяя предыдущий пример к

получаем

где Поэтому

формула Скотта

Пример 3.2.19. Пусть X — неособое многообразие, проективное расслоение касательных направлений, : проекция и универсальное линейное подрасслоение. Пусть морфизм, т. е. линейная система без базисных точек, и индуцированный дифференциал. На X мы получаем композицию

Множество, где эта композиция равна нулю, — это множество касательных прямых в точках которые касаются каждого члена линейной системы, проходящего через Обращение в нуль композиции соответствует обращению в нуль соответствующего сечения Таким образом, наше множество снабжается схемной структурой как схема нулей этого сечения. Если то (ср. пример 3.2.16 и лемму

где класс дивизоров любого члена линейной системы.

Если линейная система имеет базисное множество В, сказанное выше применимо к Если отображение ограничения является изоморфизмом для так что приведенная выше формула верна для замыкания [Z] в (ср. [Vainsencher 1]). В случае это дает формулу

полезную при геометрической интерпретации (ср. пример 16.2.4).

Пример 3.2.20. Ветвление. Пусть морфизм неособых многообразий. Пусть множество точек из X, в которых индуцированное отображение касательных пространств не является изоморфизмом. Схемная структура на задается локально обращением в нуль определителя Якоби, т. е. есть схема нулей отображения

или схема нулей сечения линейного расслоения Если то

Если мы приходим к формуле Римана — Гурвица

где (соотв. род X (соотв. У). (См. примеры 9.3.12 и 14.4.8 по поводу обобщений.)

Пример 3.2.21» Двойственные многообразия (ср. [Deligne - Katz 1], XVII).

(а) Пусть неособое подмногообразие в Пусть проективное пространство гиперплоскостей в и

где касательная -плоскость к 1 в точке на Проекция : отождествляет X с где нормальное расслоение Образ X при проекции называется многообразием, двойственным и обозначается Тогда

где В частности, будет гиперповерхностью тогда и

только тогда, когда число справа отлично от нуля; в этом случае

(Вложение происходит из вложения так что Поэтому

Но , согласно примерам 3.2.11 и 3.2.12)

(b) (ср. [Kleiman 8], с. 364) Пусть X — плоская неособая кривая степени d. Вложим X в при помощи -кратного вложения Веронезе Двойственное многообразие к X в есть многообразие плоских кривых степени касающихся Используя (а), можно убедиться, что степень этого многообразия равна

Пример 3.2.22. Рассмотрим как грассманиан -плоскостей в с универсальным подрасслоением 5 ранга 3 и линейным факторрасслоением Многообразие коник в можно отождествить с проективным расслоением или с где При таком описании многообразие коник, пересекающих данную прямую, задается обращением в нуль сечения (Так как это утверждение о дивизорах, то достаточно его проверить на дополнении к множеству плоскостей, содержащих данную прямую.) Поэтому множество коник, пересекающих данных прямых, представляется как Вычисляя класс Сегре расслоения

где мы видим, в частности, что

— это число коник, пересекающих 8 общих прямых. Аналогично имеется

коник, пересекающих 7 общих прямых, плоскости которых проходят через заданную общую точку, и коник, пересекающих 6 общих прямых, плоскости которых содержат заданную общую прямую (ср. [Schubert 1], § 20).