В.7. Регулярные вложения и л.п.п. морфизмы

Основная литература об этих понятиях: VIII, и [Grothendiek 5], II.4. Мы рассматриваем только регулярные вложения, являющиеся замкнутыми вложениями, и л.п.п. морфизмы, которые разлагаются на замкнутые вложения и последующие гладкие морфизмы.

В.7.1. Замкнутое вложение схем называется регулярным вложением коразмерности если каждая точка из X обладает аффинной окрестностью со следующим свойством. Пусть А — координатное кольцо а -идеал в А, задающий подсхему тогда

I порождается регулярной последовательностью длины d. Если пучок идеалов подсхемы то (лемма А.6.1) конормальный пучок является локально свободным на X ранга d. Нормальное расслоение к это векторное расслоение над X, пучок сечений которого двойствен к Нормальное расслоение канонически изоморфно нормальному конусу В самом деле, по лемме А.6.1 каноническое отображение из изоморфизм.

В.7.2. Пусть замкнутое вложение, задаваемое пучком идеалов Если морфизм, имеется точная последовательность пучков на X

Предположим, что X гладкая над тогда регулярное вложение в том и только том случае, когда гладкая над в некоторой окрестности подсхемы В этом случае все три пучка в приведенной последовательности локально свободные, а сама последовательность начинается мономорфизмом. В терминах векторных расслоений на X это дает точную последовательность

В.7.3. Пусть (отделимый) гладкий морфизм относительной размерности его сечение, т. е. Тогда (замкнутое) регулярное вложение с нормальным расслоением, канонически изоморфным Вообще, если -произвольный морфизм и график т. е. то — регулярное вложение коразмерности с нормальным расслоением (В самом деле, расширение базы гладкого морфизма

снова гладкий морфизм.) В частности, диагональное вложение регулярное вложение с нормальным расслоением

Пусть регулярные вложения; тогда композиция снова регулярное вложение и существует точная последовательность векторных расслоений на X:

Если вложения регулярные коразмерности и вложение регулярное коразмерности то

В частности, если гладкий морфизм, нормальное расслоение к -кратному диагональному вложению есть прямая сумма экземпляров

Если регулярное вложение и плоский морфизм, то вложение регулярно и где -индуцированный морфизм (пример

Пусть замкнутое вложение, гладкий морфизм, причем также замкнутое вложение. Тогда регулярное вложение в том и только том случае, когда регулярное вложение ([SGA 6] VIII.1.3), и в этом случае существует точная последовательность

векторных расслоений над (Применим В.7.3, В.7.4 к вложениям

В.7.6. Морфизм называется морфизмом локально полного пересечения (л.п.п. морфизмом) коразмерности если допускает разложение на (замкнутое) регулярное вложение некоторой коразмерности и гладкий морфизм относительной размерности Из предыдущего абзаца следует, что если произвольное разложение на замкнутое вложение и гладкий морфизм относительной размерности то регулярное вложение коразмерности

Если такое разложение л.п.п. морфизма то виртуальное касательное расслоение определяется как разность расслоений

в группе Гротендика векторных расслоений над X:

Из точных последовательностей следует, что не зависит от выбора разложения (см. доказательство предложения или VIII.2.5).

Замечание. В некотором противоречии с употреблением термина «локальный» мы требуем, чтобы л.п.п. морфизм обладал глобальным разложением на замкнутое вложение и последующий гладкий морфизм. Однако если схема X обладает замкнутым вложением в гладкую -схему то любой морфизм обладает таким разложением: где проекция.