18.1. Гаф-конструкция

Пусть X — замкнутая подсхема схемы комплекс векторных расслоений над точный вне X:

гомоморфизмы локально свободных пучков, на Пусть Образуем

Пусть тавтологическое расслоение ранга над и

где проекция. Для каждой точки и каждого основного поля К график отображения есть -мерное подпространство Это определяет морфизм

такой, что прообразом является график в точке Это определяет замкнутое вложение

(Как это поточечное определение сделать схемным, см. пример 18.1.1.)

Определим целые числа полагая при и налагая условие

для всех Таким образом, Мы предполагаем, что к, неотрицательны; это так, если комплекс точен в некоторой точке (например, если и тогда Пусть образуем

Над мы имеем подрасслоение расслоения ранга Это определяет сечение над следовательно, замкнутое вложение

где обозначает ограничение над Имеется каноническое замкнутое вложение

которое переводит набор -плоскостей в набор -плоскостей Отождествим с замкнутой подсхемой в при помощи Заметим, что

В самом деле, если — тавтологическое расслоение над то

где проекции на

Вложения (4), (7) и (8) позволяют образовать (некоммутативную диаграмму

Пусть проекция, ограничение. Для -мерного подмногообразия локализованный характер Чженя

можно определить следующим образом. Пусть -замыкание Пусть

где Тогда есть -цикл на Проверяется (лемма 18.1), что одной из неприводимых компонент является многообразие V, бирационально проектирующееся на К и что

является -цикл ом на Положим

Однако полезно иметь более гибкое определение. Для цикла а на пусть обозначает его ограничение на

(i) Выберем цикл а на который ограничивается до

(ii) Выберем цикл на который ограничивается до цикла на

Тогда — цикл на Положим

Заметим, что у корректно определен как цикл на так как нормальное расслоение к тривиально (замечание 2.3). Иными словами, у есть специализация цикла в точке обсуждавшаяся в § 10.1.

Лемма 18.1. (а) у — цикл на .

(b) у не зависит от выбора а.

(c) Другой выбор меняет у на где цикл на

Доказательство. Другой выбор а имеет вид где цикл на Тогда что доказывает (b). Другой выбор имеет вид где цикл на Тогда цикл на что доказывает (с).

При доказательстве (а) можно считать, что так как конструкция у коммутирует с ограничениями на открытые подсхемы. В этом случае мы должны показать, что при подходящем выборе Таким образом, мы предполагаем, что комплекс точен всюду на Пусть Определим подрасслоение ранга в обратном образе над слой которого над точкой равен

Это определяет морфизм следовательно, замкнутое вложение

Вне есть график так что продолжает вложение (см. (4)). В точке так что над превращается во вложение из (7) и (8).

Теперь для данного цикла а на пусть Тогда

Определение 18.1. Для комплекса над У, точного вне X, и цикла а на положим

в Здесь — цикл на определенный формулой (15) и леммой 18.1(a), - проекция в виртуальное расслоение, определенное формулой (2). По лемме 18.1 цикл у определен с точностью до прибавления цикла из Так как ограничение на равно не зависит от выбора у, так что определение а корректно.

Вообще, если произвольный морфизм и можно положить для любого а

Пусть Иначе говоря, бивариантная группа, определенная в § 17.1, но только для циклов и классов циклов с рациональными коэффициентами.

Теорема 18.1. Операция а а определяет бивариантный класс

Доказательство. Покажем, что операция (17) удовлетворяет условиям теоремы 17.1. Проверим коммутирование с собственным прямым образом. Пусть собственный морфизм, индуцированный морфизм и а — цикл на надо показать, что

Заметим, что основная диаграмма для получается из основной диаграммы (10) для при помощи замены базы Чтобы избежать громоздких обозначений, мы будем писать для прямых и обратных образов всех морфизмов (кроме А), индуцированных этой заменой базы. Пусть выборы для а, удовлетворяющие Тогда выборы для удовлетворяющие так как прямой образ коммутирует с ограничением. Аналогично, если то

так как коммутирует с (теорема предложение 1.4). Поэтому можно взять в качестве -цикла для Получаем

Здесь отображение, индуцированное морфизмом

Доказательство коммутирования с плоским обратным образом совершенно аналогично и оставляется читателю.

Пусть, наконец, главный дивизор, для некоторого морфизма Пусть вложение в Для завершения доказательства мы должны проверить, что

Рассуждение опять похожее. Пусть -выборы для Тогда —циклы на которые удовлетворяют относительно цикла это снова следует из коммутирования с ограничениями на открытые подсхемы. Поэтому

есть -цикл для Теперь в силу фундаментальной коммутативности для дивизоров (теорема 6.4)

Поэтому если обозначает проекцию в то

В частности, гомоморфизм а пропускается через рациональную эквивалентность, определяя

Кроме того, если - регулярное вложение или л.п.п. морфизм и то для любого а

Следствие 18.1.1 (гомотопия). Пусть — комплекс векторных расслоений над точный вне Пусть для рациональной точки обозначает индуцированный комплекс над Тогда для любого

Доказательство. Согласно (19),

где вложение слоя над Так как все гомоморфизмы совпадают (следствие 6.5), все доказано.

Предложение 18.1. Пусть вложение.

(a) Для любого а

(b) Пусть точная последовательность комплексов векторных расслоений над точных вне Тогда

(c) Пусть векторное расслоение над Тогда

Доказательство, (а) Так как локализованный характер Чженя коммутирует с можно считать, что При выборе можно взять Тогда

где (ср. пример 2.6.6). Если ограничение на по условию (i), определяющему Так как сечение, соответствующее комплексу с нулевыми граничными отображениями, график равен так что обратный образ равен Отсюда и

Применение дает (а), так как

Сначала мы продсформируем в прямую сумму Согласно следствию 18.1.1, достаточно рассмотреть этот расщепимый случай. Пусть данный морфизм из в Определим семейство сюръекций векторных расслоений

параметризованное точками Тогда

В расщепимом случае будем ставить значок для пространств, расслоений и отображений, построенных для Имеется каноническое вложение такое, что ограничивается до где проекции Вложения раглагаются на

Аналогичные разложения имеются для и Поэтому можно выбрать циклы а на для так, чтобы они были циклами на Тогда образы при будут правильными выборами для и Заметим также, что Поэтому если то

(с) Если построено для для то имеется каноническое вложение при котором ограничивается до После этого доказательство завершается, как в (ср. [Baum - Fulton - MacPherson 1], II.2.3).

Следствие 18.1.2. Пусть замкнутые вложения, причем регулярное с нормальным расслоением Пусть когерентный пучок на X, и предположим, что обладает конечной локально свободной резольвентой над (соотв. над Тогда

Доказательство. Заметим, что согласно утверждению (b) предложения не зависят от резольвент. Мы должны проверить, что обе части равенства одинаково действуют на а для любого цикла а на схеме V и любого морфизма

Предположим сначала, что вложение нулевого сечения и Пусть проекция и предположим, что для некоторого Пусть универсальное факторрасслоение над Тогда (ср. § 15.1) является резольвентой Пусть проекция, индуцированная В силу согласованности локального характера Чженя с прямыми образами и так как вкладывает имеем

Так как точен вне гомотопен как комплекс над точный вне X, комплексу с теми же векторными расслоениями, но нулевыми граничными отображениями на Пусть ограничение на По следствию 18.1.1 и предложению 18.1(c) получаем

Пусть - вложение нулевого сечения. Так как где для всех формулу (2) можно переписать как

пользуясь перестановочностью локального характера Чженя с плоским обратным образом. Применяя и замечая, что мы получаем из (1) и (3)

это и есть нужное равенство в рассматриваемом случае.

В общем случае продеформируем вложение во вложение в нормальное расслоение как в § 5.1:

Пусть — проекция, и пусть резольвента на (существующая в силу того, что регулярное вложение). Пусть вложения над и Тогда (соотв. являются резольвентами на (соотв. на

Можно предположить теперь, что -многообразие и Пусть индуцированный морфизм, и рассмотрим индуцированный морфизм деформационных пространств. В силу коммутирования локального характера Чженя со специализацией имеем

Как в доказательстве следствия 18.1.1, можно заменить на в правой части (5), что дает

По построению где проекция Так как можно заменить на нужное равенство

следует из (6) и (4).

Пример 18.1.1. Для любых векторных расслоений рангов над схемой существует открытое вложение

которое над геометрическими точками переводит гомоморфизм в его график. (Действительно, если аффинна,

это одно из базисных открытых аффинных множеств, покрывающих расслоение Г]рассмана (ср. [EGA], 1.9.7).)

Если гомоморфизм векторных расслоений, то существует гомоморфизм

который на уровне геометрических точек переводит (Пусть сечение расслоения Нош соответствующее Тогда надо взять композицию

где умножение на скаляры в расслоении Нот Композиция

переводит геометрическую точку в график

Другие конструкции этого раздела аналогично распространяются на произвольные схемы.

Пример 18.1.2. Пусть комплекс векторных расслоений над У, точный вне Пусть обозначает комплекс, полученный из сдвигом влево на шагов: Тогда

Пусть двойственный комплекс: граничным отображением Пусть обозначает компоненту Тогда

(Геометрическая конструкция для и одна и та же, только заменяется на используется двойственность грассманианов (пример 14.6.5); при отождествлении грассманианов переходит в

Пример 18.1.3. В обозначениях этого раздела положим

и

Тогда для всех оператор определяет элемент из

называемый локализованным классом Чженя комплекса Существуют аналоги «без знаменателей» предложения 18.1 и следствия 18.1.2 для этих классов.

Пример 18.1.4. Пусть -комплексы векторных расслоений над У, точные вне Пусть квазиизоморфизм, т. е. гомоморфизм комплексов, индуцирующий изоморфизм пучков гомологий. Тогда и то же самое верно для локальных классов Чженя. (Существует точная последовательность

где конус отображения, который является точным комплексом всюду на

Пример 18.1.5. Пусть комплексы векторных расслоений над У, точные вне соответственно. Тогда точен вне и в обозначениях примера 17.3.1.

(Было бы интересно найти прямое доказательство этого свойства мультипликативности, как в предложении 18.1; в топологии это сделано в работе [Iversen 3]. Эту формулу можно вывести из формулы примера 18.3.12, сюръективности отображения Римана — Роха и спектральной последовательности

для когерентного пучка на )

Пример 18.1.6. Граф-конструкция Макферсона для гомоморфизмов векторных расслоений. Пусть —гомоморфизм векторных расслоений рангов над многообразием У. Пусть с универсальным расслоением ранга над Существует каноническое вложение

переводящее точки в точки (график Пусть -замыкание образа и

есть -цикл на Пусть - отображения, индуцированные проекцией.

(а) Для любого характеристического класса (т. е. многочлена от классов Чженя)

(b) Если имеет ранг к вне собственного замкнутого подмножества то существует компонента входящая в с кратностью один, такая, что бирационально проектируется на лежит в

Все остальные компоненты «проектируются в

Это частный случай конструкции данного параграфа для двучленного комплекса

(d) Если тривиальное линейное расслоение, так что сечение то где раздутие вдоль —нормальный конус к

(e) Если достаточно общее, то где проектируются на множество точек с Вообще содержит много полезной информации о вырождении а.

(f) Если морфизм неособых многообразий, граф-конструкцию можно применить к Компоненты будут лежать над различными множествами особенностей Например, пусть раздутие вдоль гладкого подмногообразия его исключительный дивизор. Тогда

где на Отсюда можно вывести формулу для раздутия классов Чженя (§ 15.4).

С другой стороны, если разветвленное накрытие, граф-конструкция дает разложение

где класс на множестве ветвления

Пример 18.1.7. В ситуации следствия 18.1.1 классы не зависят от (См. пример 17.5.1.)