6.3. Формулы избыточного пересечения

Снова рассмотрим расслоенную диаграмму

где регулярное вложение коразмерности с нормальным расслоением Существует каноническое вложение Факторрасслоение

имеет ранг на мы называем избыточным нормальным расслоением для нижнего расслоенного квадрата.

Теорема 6.3 (формула избыточного пересечения). Для любого

Доказательство. Пусть и пусть универсальные факторрасслоения над Существует каноническое вложение причем каноническое линейное расслоение над ограничивается до канонического линейного расслоения над Это дает точную последовательность расслоений над

где проекция Можно считать, что где V — подмногообразие в Пусть Используя формулу Уитни и формулу проекции, получаем

Следствие 6.3. Пусть

— расслоенный квадрат, где регулярное вложение коразмерности d с нормальным расслоением Предположим, что изоморфизм. Тогда для любого

Частным случаем этого является формула самопересечения

где

Замечание 6.3. Если даны диаграмма как в § 6.2, и класс а и если некоторая связная компонента схемы X регулярно вложена в то формула избыточного пересечения может быть применена к части расположенной на Как и в замечании 6.2.2, достаточно рассмотреть ограничение на открытую подсхему

Тот факт, что произведения-пересечения коммутируют с классами Чженя, является формальным следствием установленных свойств.

Предложение 6.3. Пусть -регулярное вложение коразмерности а

— расслоенный квадрат, и пусть векторное расслоение над Тогда для любого и целого

Доказательство. Шаг редукции. Достаточно найти собственный морфизм и класс удовлетворяющий условию такие, что если мы образуем расслоенный квадрат

и положим то получим

Это следует из перестановочности гомоморфизмов Гизина и операций класса Чженя с прямым образом (теорема 6.2 и теорема 3.2(c)):

При доказательстве этого предложения мы рассмотрим сначала случай, когда линейное расслоение, а Можно считать, что где V есть -мерное подмногообразие в У. Пользуясь шагом

редукции, мы можем заменить на раздутие V вдоль Это позволяет нам считать, что многообразие, и либо X — дивизор Картье на либо В случае когда X — дивизор Картье, пусть факторрасслоение над введенное в начале этого параграфа. Тогда

Если же используем следствие 6.3 с теоремой

Пусть теперь произвольное векторное расслоение и любое. Положим и образуем расслоенный квадрат проективных расслоений

Пусть каноническое линейное расслоение над его ограничение на Так как гомоморфизмы Гизина коммутируют с прямым и обратным образами (теорема 6.2) и с первыми классами Чженя, то

или

для любых а и у. Так как классы Чженя полиномиально выражаются через классы Сегре, предложение доказано.

Пример 6.3.1. Пусть дан расслоенный квадрат, как в начале параграфа, и пусть чисто -мерная схема. Тогда

(См. пример 6.2.1.)

Пример 6.3.2. Если в расслоенном квадрате

регулярные вложения, то

Иными словами, избыточное нормальное расслоение не зависит от ориентации квадрата.

Пример 6.3.3. Пусть X — схема, и для каждой рациональной точки пусть обозначает вложение над т. е. Пусть а есть -цикл на Тогда классы не зависят от (По теореме 3.3 запишем где есть у-плоскость в Тогда

Пример 6.3.4. Пусть векторное расслоение ранга d над схемой и 5 — его регулярное сечение. Тогда вложение схемы нулей является регулярным вложением коразмерности совпадает с ограничением на Если морфизм, образуем расслоенный квадрат

Тогда для любого а

(Надо образовать диаграмму (!), как в примере 6.2.7; согласно теореме Возьмем получаем расслоенную диаграмму

Поэтому Теперь все завершается благодаря примеру 6.2.3.)

Пример 6.3.5. Пусть точная последовательность векторных расслоений над схемой Пусть проекция и Тогда в

Пример Тонкий гомоморфизм Гизина однозначно определяется формулой избыточного пересечения и перестановочностью с прямым образом. где следует раздуть V вдоль

Пример 6.3.7. Рассмотрим расслоенный квадрат

где регулярное вложение коразмерности d. Предположим, что например имеет сечение, нигде не обращающееся в нуль. Тогда существует единственное отображение «специализации»

делающее коммутативной диаграмму

где — вложение (Строка точна по предложению а по теореме 6.2(a) и следствию 6.3.)

В случае пусть цикл на Тогда

где — замыкание в