19.1. Отображение цикла

Даже если нас главным образом интересуют проективные многообразия, полезно, как мы видели, иметь группы рациональной эквивалентности и для неполных многообразий, так что каждое многообразие имеет фундаментальный класс, согласованный с ограничениями для открытых вложений. Аналогичной теорией гомологий для локально компактных топологических пространств являются гомологии Бореля — Мура, которые мы обозначаем Геометрически можно представлять себе, что гомологии Бореля — Мура построены из (возможно бесконечных) сингулярных цепей с локально конечным носителем. Мы коснемся кратко основных особенностей гомологий Бореля — Мура, нужных для наших целей; по поводу деталей см. пример 19.1.1 и приведенные там ссылки.

Гомологии Бореля — Мура можно определить, используя сингулярные когомологии. Если пространство X вложено как замкнутое подпространство в то

где группа справа — относительные сингулярные когомологии с целыми коэффициентами. Вообще, если X — замкнутое подпространство пространства существует -произведение

Если ориентированное связное вещественное -многообразие, то свободно порождается фундаментальным классом и -умножение на определяет изоморфизм

Когда это и дает изоморфизм (1). Когда есть изоморфизм двойственности Пуанкаре

Если собственный морфизм, имеются ковариантные гомоморфизмы 1

Если открытое вложение, имеются контравариантные гомоморфизмы ограничения

Если X — дополнение к и замкнутое вложение, существует длинная точная последовательность

Если X — несвязное объединение конечного числа пространств то

Все предыдущие гомоморфизмы очевидным способом согласованы, и мы будем пользоваться этим без особых пояснений. В частности, имеет место равенство

где замкнутые вложения, и

Лемма 19.1.1. Если X есть n-мерная комплексная схема, то при свободная абелева группа, образующие которой соответствуют неприводимым компонентам

Доказательство. Пусть множество особых точек схемы Для утверждение леммы следует из (7) и изоморфизма Пуанкаре (3), так как комплексное многообразие имеет каноническую ориентацию. Предполагая утверждение для выполненным по индукции, мы из точной последовательности (6) получаем утверждение для

Образующие соответствующие -мерным неприводимым компонентам обозначаются Они однозначно определяются условием, что ограничение их на любое связное открытое неособое подмножество равно фундаментальному классу Вообще, если V есть -мерное замкнутое подмногообразие схемы X, определим класс цикла формулой

где вложение Когда можно не опасаться путаницы, мы будем писать вместо

Лемма 19.1.2. Пусть собственный сюръективный морфизм многообразий. Тогда

Доказательство. Пусть Если лемма очевидна, так как Пусть теперь маленький открытый топологический шар, содержащийся в гладкой части такой, что есть несвязная сумма шаров каждый из которых гомеоморфно проектируется на Лемма следует теперь из коммутативности диаграммы

и того факта, что ограничения являются изоморфизмами, как и отображения

Для любой схемы X имеется гомоморфизм или

из алгебраических -циклов в гомологии Бореля — Мура, который переводит Из леммы 19.1.2 и определений гл. 1 следует, что коммутирует с прямым образом для собственного морфизма и с ограничением на открытые подсхемы.

Если замкнутое вложение комплексных многообразий коразмерности имеется канонический класс ориентации

В случае когда комплексное векторное расслоение над вложено в как нулевое сечение, есть класс Тома этого расслоения. Если трансверсально к то В частности, если -нормальное расслоение к и трубчатая окрестность, класс определяется условием, что класс Тома Если ориентированы, то

Лемма 19.1.3. Пусть X есть n-мерное многообразие, неособая кривая, сюръективный морфизм, Тогда

Доказательство. Так как и специализация коммутируют с собственными прямыми образами (предложение 10.1), можно заменить X его нормализацией и предполагать, что X нормально. Пусть открытое подмножество в X, пересекающее внутри заданной неприводимой компоненты Тогда достаточно проверить, что обе части требуемого равенства ограничиваются до одного и того же класса в Поэтому мы можем предполагать, что единичный круг в а X неособо, причем где определяет неособую гиперповерхность Рассмотрим коммутативную диаграмму

где Пусть каноническая образующая в Тогда

Предложение 19.1.1. Если цикл а на комплексной схеме X алгебраически эквивалентен нулю,

Доказательство. Достаточно показать, что где V — многообразие, доминантный морфизм на неособую кривую (ср. пример 10.3.2). По лемме гл в где образ Так как связна, не зависит от Поэтому не зависит от

Отсюда следует, что отображение цикла пропускается через алгебраическую эквивалентность и определяет гомоморфизмы

ковариантные относительно собственных морфизмов. Композиция

также называется отображением цикла и обозначается или

Комплексное векторное расслоение на пространстве X имеет классы Чженя удовлетворяющие формулам, аналогичным формулам § 3.2.

Предложение 19.1.2. Если алгебраическое векторное расслоение над схемой X и а — некоторый -цикл на X, то для любого

Доказательство. По формуле проекции достаточно найти собственный морфизм такие, что доказываемая формула выполняется для расслоения и цикла а на Взяв в качестве композицию проективных расслоений (ср. пример 3.3.3), можно предполагать, что фильтрованно, причем соответствующие факторрасслоения линейны. Пользуясь формулой Уитни, можно считать линейным расслоением, а Как обычно, можно считать, что многообразие и где дивизор Картье. Раздувая знаменатели, как в случае 3 доказательства теоремы 2.4, и пользуясь аддитивностью первого класса Чженя, можно предполагать эффективным. Нормализуя, можно считать X нормальным. Пусть сечение нулями которого является Если и — класс Тома расслоения в то локализованный первый класс Чженя расслоения т. е. образ есть Те же рассуждения, что и в лемме

в Так как то все доказано.

Определение 19.1. Определим как группу гомологичных нулю -циклов на X, т. е.

Обозначим через циклы, нетривиальное кратное которых лежит в т. е. ядро отображения цикла из Два цикла гомологичны, если их разность лежит в (или в согласно некоторым авторам).

Для полной схемы -цикл а называется численно эквивалентным нулю, если для любых многочленов от классов Чженя векторных расслоений над Если X — неособое многообразие, это эквивалентно требованию для любых (ср. пример 19.1.5). Пусть группа -циклов на X, численно эквивалентных нулю, и

Пусть (соотв. группа циклов, ненулевое кратное которых попадает в (соотв. в Согласно результатам этого параграфа, для любой полной комплексной схемы X имеют место включения

Пример 19.1.1. О гомологиях Бореля — Мура. Пусть пространство X обладает замкнутым вложением в евклидово пространство Тогда можно определить группы гомологий Бореля — Мура

где справа стоят группы относительных, сингулярных или чеховских когомологий (ср. [Dold 1], YIII.6.12). Большая часть свойств, нужных для § 19.1, проверена в работе [Fulton - MacPherson 3], которую мы будем здесь упоминать как Например, независимость этого определения от вложения проверяется в .5; ковариантность для собственных отображений — в [ВТ], 3.1.8; независимость п-произве-дения § 19.1) — в [ВТ], 3.1.7; изоморфизм двойственности (равенство (3)) — в [ВТ], 4.1.3.

Пусть замкнутое вложение, дополнительное открытое множество. Тогда длинная точная последовательность

(6) из § 19.1 есть точная когомологическая последовательность тройки для некоторого замкнутого вложения в Равенство (7) следует из определения и аксиомы вырезания; равенство

(8) — частный случай из равенство (9) следует из

Если одноточечная компактификация Xе - пространства X является -комплексом, можно вложить Xе в -сферу и тогда

Это отождествляет с гомологиями с замкнутыми или локально конечными носителями, т. е. с гомологиями Бореля — Мура (ср. [Borel - Moore 1], теорема 3.8 и § 5). Борель и Мур дали теоретико-пучковую конструкцию групп гомологий для любого локально компактного пространства, из которой также можно вывести базисные свойства. По поводу аналогичной -адической теории для алгебраических многообразий см. [Deligne 2] и [Laumon 1].

Пример 19.1.2 (ср. [Bloch - Ogus 1]). Пусть X — полная схема над алгебраически замкнутым полем. Тогда делимая группа. (Это группа порождается в классами вида где V — подмногообразие в полная неособая кривая, нуль-цикл нулевой степени на С, а проекции Так как делима (пример 1.6.6), то для любого мы можем записать так что

Пример 19.1.3. Для любой комплексной алгебраической схемы X группы конечно порождены. Следовательно, конечно порождены

Если X полна, факторгруппа конечно порожденная свободная абелева группа, конечна. (Используя длинную точную последовательность (6) и нётерову индукцию, сведем все к случаю проективной схемы . О простом доказательстве триангулируемости проективных многообразий

Пример 19.1.4. Для любой полной схемы X над алгебраически замкнутым полем конечно порожденная свободная абелева группа. (Имеется спаривание для некоторой абелевой группы такое, что является аннулятором Поэтому группа без кручения. Используя отображение цикла в этальные гомологии, получим конечную порожденность Пусть есть -базис Выберем так, что для Тогда так что конечно порождена.)

Пример Пусть неособое полное -мерное многообразие над полем. Тогда -цикл а на X численно эквивалентен нулю в смысле этого раздела в том и только том случае, если для любого -цикла на (Согласно теореме Римана — Роха (§ 18.3), характер Чженя задает изоморфизм из

Пусть X — полная схема, которая обладает вложением в неособое многообразие. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

(1) а численно эквивалентен нулю.

iii) для всех где неособо,

(Используем лемму 18.2 вместе с рассуждениями

Пример 19.1.6. Пусть морфизм полных схем над произвольным полем. Тогда так что индуцирует гомоморфизм превращая в ковариантный функтор.

Если неособы, индуцирует гомоморфизм градуированных колец. (Оба утверждения следуют из формулы проекции, но для доказательства второго надо использовать пример 19.1.5.) Вообще для любого соответствия отображения индуцируют гомоморфизмы между и

Пример 19.1.7. Макферсоновские классы Чженя ([MacPherson 1]). Для полной схемы X и подмногообразия функция, сопоставляющая точке локальное эйлерово препятствие пример является конструктивной функцией на Отображение

определяет изоморфизм из группы циклов в группу конструктивных функций

Положим см где класс Мазера — Чженя (пример Определим

формулой Теорема Макферсона ([MacPherson 1]) утверждает, что композиция

коммутирует с прямыми образами для собственных отображений. При этом если 1 у обозначает характеристическую функцию подмногообразия то Для определяется как топологическая эйлерова характеристика пространства Макферсоновский класс Чженя определяется как Отображая полную схему X в точку, мы получаем, что равен топологической эйлеровой характеристике схемы

На самом деле доказательство, приведенное в работе [MacPherson 1], показывает, что с»: коммутирует с собственными прямыми образами. Вердье ([Verdier 6]) показал, что эти классы Чженя согласованы со специализациями. Связь с другими операциями пересечения обсуждается в работе [Sabbah 1].

Замечание. Три других естественных определения классов Чженя особых многообразий, согласованные с в случае неособого многообразия X, обсуждались в примерах 4.2.6(a), (с) и 4.2.9(b). Однако для этих классов известно мало функториальных свойств.

Пример 19.1.8. Когомологические операции. Пусть когомологическая операция, где когомологии с коэффициентами в и пусть соответствующий характеристический класс:

где изоморфизм Тома -ориентированного расслоения Например, если квадрат Стинрода, то

класс Штифеля — Уитни (ср. [Milnor - Stasheff 1], [Atiyah - Hirzeb-ruch 1]). Предположим, что для любого неособого проективного алгебраического (соотв. комплексно-аналитического) многообразия класс представляется алгебраическим (соотв. аналитическим) циклом. Например, если квадрат Стинрода, то есть редукция полного класса Чженя по модулю 2, так что это ясно. Тогда сохраняет алгебраические (соотв. аналитические) циклы.

Вообще для любой полной алгебраической схемы (соотв. компактного аналитического пространства) X соответствующая гомологическая операция

сохраняет алгебраические (соотв. аналитические) циклы. (Если V — подмногообразие в X, то по теореме Хиронаки существует собственный морфизм где -неособое многообразие и Поэтому

— алгебраический цикл.

Случай квадратов Стинрода и операций приведенных степеней на неособых многообразиях был разобран в работе [Kawai 1], причем рассуждения были более сложными. Заметим, в частности, что обращаются в нуль на алгебраических циклах для нечетных Близкие результаты приведены в статье [Atiyah - Hirzebruch 1].

Мы не знаем, поднимается ли до операции на группе Приведенное выше доказательство показывает, каким должно быть вопрос лишь в том, будет ли независимым от разрешения.

Пример 19.1.9. Для гомологий Бореля — Мура существуют внешние произведения

Если алгебраические циклы на то

(Так как произведения согласованы с ограничениями, это следует из того факта, что для многообразий

Пример 19.1.10. Утонченные топологические пересечения. Пусть X — замкнутое подпространство в и Определим в где полагая

где справа есть -произведение (2).

Пусть ориентированное вещественное -многообразие, замкнутое подпространство и а Определим как класс, двойственный Если также замкнуто и положим

Если класс ориентации диагонали, то а Кроме того,

Пример 19.1.11. Есть важный класс схем X, для которых отображение цикла является изоморфизмом. Такие многообразия не имеют нечетномерных гомологий, так что среди кривых такими являются лишь

Если замкнутая подсхема, изоморфизмы, то изоморфизм. (Надо использовать согласованность точных последовательностей из §

Если X имеет клеточное разложение в смысле примера 1.9.1, то изоморфизм.

(c) Если где В — борелевская подгруппа редуктивной группы то разложение Брюа (ср. [Borel 1], IV.14) является клеточным разложением, так что изоморфизм.

(d) Если X — проективное пространство, многообразие Грассмана или произвольное многообразие флагов, то изоморфизм. Вообще, если X — расслоение флагов над схемой то изоморфизм тогда и только тогда, когда изоморфизм.

Пример 19.1.12. Пусть обозначает сингулярные гомологии (гомологии с компактными носителями), а группу, определенную в примере 10.2.8. Тогда существуют гомоморфизмы ковариантные относительно любых морфизмов.