6.7. Моноидальные преобразования

Пусть X — регулярно вложенная подсхема схемы коразмерности d с нормальным расслоением Пусть раздутие вдоль его исключительный дивизор. Мы имеем расслоенный квадрат

Так как избыточное нормальное расслоение есть универсальное факторрасслоение над

Мы предполагаем, что может быть вложено в неособую схему Тогда это же верно для (дополнение В.8.2). В этом случае является л.п.п. морфизмом относительной размерности в смысле предыдущего раздела. В самом деле, это локальное утверждение, доказанное в локальном случае в лемме А. 6.1.

Предложение (ключевая формула). Для любого

(b) Для любого имеет место равенство

(e) Существуют расщепляющиеся точные последовательности

где Левый обратный к а. задается формулой

Доказательство, (а) Согласно теореме и теореме 6,3 (ср. предложение 6.6),

(b) Можно предполагать, что где -подмногообразие в Если то и по (а)

(ср. пример 3.3.3). Если то пусть У С -раздутие V вдоль По теореме

где х — класс с носителем на Поэтому

Но класс, расположенный на и так что а это и требуется.

(c) Согласно теореме

для некоторых Тогда по предложениям

и

По утверждению единственности теоремы все равны 0, так что

Теперь проверим, что любой класс может быть записан в виде

для некоторого В самом деле, равно нулю на

(теорема 6.2(b)) и потому является образом элемента на (предложение 1.8).

(d) Если то по предыдущей формуле Поэтому Положим

Согласно Но

(пример 3.3.3). Из (с) заключаем, что откуда

Сюръективность уже была установлена перед доказательством Утверждение есть в точности Тот факт, что приведенное отображение обратно слева к а, имеется в примере 3.3.3. Наконец, предположим, что

Согласно Определим как в доказательстве

(d). Тогда кроме того,

Согласно так что что и требуется.

Теорема 6.7 (формула раздутия). Пусть V есть -мерное подмногообразие в и пусть собственный прообраз V, те. раздутие V вдоль Тогда в

Доказательство. Если то и формула редуцируется к ключевой формуле. Поэтому мы предположим, что Согласно предложению достаточно проверить, что обе части формулы совпадают после применения

Когда к левой части применяется то получается согласно предложению Так то для равенства двух частей после применения достаточно показать, что

Так как класс на то по формуле проекции левая часть этого равенства представляется классом на Но так что -мерная компонента этого класса равна нулю.

Применим теперь к каждому из трех членов формулы раздутия.

Применение к первому члену дает

где и -исключительный дивизор на Для второго члена мы получаем

Так как по формуле Уитни то

Полагая сравнивая три последних равенства, мы получаем, что достаточно доказать равенство

для любого Это формальное тождество, которое выполняется для любого проективного расслоения. При его проверке можно, согласно теореме 3.3, предполагать, что По предложению 3.1

Поэтому левая часть выписанного равенства равна

как и требуется.

Следствие 6.7.1. Если точка на то

где есть -мерное линейное подпространство в — поле вычетов кольца и -кратность точки на

Следствие 6.7.2. Если то

Доказательство. В этом случае расположено на размерность которого , так что второй член в формуле раздутия равен нулю.

Пример 6.7.1. Ключевая формула, как и более общая формула раздутия, верны в тонком варианте: если -произвольный морфизм и V есть -мерное подмногообразие в то

где и индуцированные морфизмы помечены штрихом. Точно так же для любого (Доказательства те же, что и в абсолютном случае. Формализм, включающий такие обобщения, см. в § 17.5.)