11.2. Инфинитезимальные классы пересечений

Рассмотрим семейство регулярных вложений коразмерности деформирующее заданное вложение Пусть касательное пространство к в и А — тривиальное линейное расслоение на X со слоем иначе говоря, Из расслоенной диаграммы

видно, что (дополнение В.7.4). Из вложений получаем вложение нормальных расслоений Оно имеет вид

где : есть характеристика, или гомоморфизм Кодаиры — Спенсера. Если зафиксировать базис для А, то будет сечением которое мы называем характеристическим сечением рассматриваемой деформации.

Пусть замкнутая подсхема, плоская над и относительной размерности k. Пусть ограничение на Пусть сечение индуцированное характеристическим сечением Пусть нормальный конус к замкнутый подконус в Класс

назовем инфинитезимальным классом пересечения.

Теорема 11.2. В приведенных выше обозначениях

При этих включениях предельный класс пересечения переходит в инфинитезимальный, а последний — в класс пересечения:

при индуцированных гомоморфизмах

Следствие 11.2. Если предельный класс пересечения есть корректно определенный неотрицательный -цикл, зависящий только от характеристического гомоморфизма:

Доказательство теоремы. Пусть характеристическое сечение Продеформируем заданное вложение во вложение заданное сечением в основном как в § 5.1. Пусть (соотв. ) - раздутие вдоль (соотв. У вдоль и пусть 0° (соотв. 3°) — дополнение к (соотв. к ) в (соотв. в 3). Так как дивизор Картье на существует вложение которое над превращается во вложение заданное сечением

Здесь обозначает вложение в На самом деле вложение в индуцирует вложение определяемое отображением где характеристический гомоморфизм. Выбор базиса для А отождествляет дополнение к Вложение индуцирует вложение следовательно, в Получается расслоенная диаграмма

Так как отображается собственно в и это отображение — изоморфизм над то отображается на Поскольку проектируется (изоморфно) на то

Для любого сечения имеем Аналогично тот факт, что отображается в в верен для любого сечения расслоения (следствие 6.5 или пример 11.1.2). Так как то в

Для доказательства равенства мы применяем теорему коммутативности (§ 6.4), что дает

Далее

по теореме Так как ограничивается до над то

по предложению что завершает доказательство теоремы.