5.2. Специализация в нормальный конус

Пусть X — замкнутая подсхема схемы нормальный конус к Определим гомоморфизмы специализации

пользуясь формулой для -мерных подмногообразий и распространяя ее по линейности на -циклы. Заметим, что конус является чисто -мерной схемой (дополнение так что, согласно § 1.5, он имеет фундаментальный цикл

Предложение 5.2. Если цикл а рационально эквивалентен нулю на У, то рационально эквивалентен нулю на С.

Поэтому можно перейти к классам циклов и получить гомоморфизмы специализации

Доказательство. Пусть — пространство деформации, построенное в § 5.1, - вложение С в вложение в

М°. Рассмотрим диаграмму

Строка ее точна по § 1.8. Отображение отображение Гизина для дивизоров; композиция равна нулю, так как нормальное расслоение к С в тривиально (предложение действительно, С — главный дивизор на

Поэтому существует индуцированный гомоморфизм из следовательно, гомоморфизм из полученный как его композиция с плоским обратным образом Для доказательства предложения достаточно проверить, что эта композиция переводит Прежде всего, Многообразие -замкнутое подмногообразие в которое ограничивается до так что

Дивизор Картье пересекает по так что

и это завершает доказательство.

Следующий пример можно рассматривать как предвосхищение нескольких следующих глав.

Пример 5.2.1. Пусть —регулярное вложение коразмерности d с нормальным расслоением Определим гомоморфизм Гизина

как композицию

где - гомоморфизм Гизина из определения 3.3.

(a) Если (соотв. если нулевое сечение векторного расслоения), то этот гомоморфизм Гизина совпадает с определенным в § 2.6 (соотв. в § 3.3).

(b) Если чисто -мерная схема,

Для любого а выполняется (См. § 6.3.)

(d) Для любого -мерного подмногообразия

(e) Если X есть -мерное многообразие, гладкое над основным полем, то диагональное вложение является регулярным вложением коразмерности Это определяет произведение-пересечение на