Замечания и литература

Беглый просмотр большой энциклопедической статьи [Berzolari 3] позволит ощутить важность соответствий в математике начала этого столетия. В частности, многие задачи исчислительной геометрии были решены при помощи построения подходящих соответствий между кривыми и использования формул для числа точек совпадения или неподвижных точек таких соответствий (ср. примеры

Было много попыток найти многомерные аналоги. Теорема Пьери для соответствий на (пример 16.2.1) выделяется среди них как предтеча современной теории избыточных пересечений. Цейтен и Севери также посвятили много статей этой теме (ср. примеры 16.1.5, 16.2.3 и 16.2.4). Как правило, в высших размерностях успех достигался для таких соответствий для которых класс на удавалось представить как сумму внешних произведений циклов на X, или для

многообразий X с аналогичным разложением диагонали. В общем случае такое кюннетовское разложение возможно, только если допускать неалгебраические циклы на X, включая нечетномерные классы гомологий. Задача нахождения общей формулы для неподвижных точек в этом контексте была решена Лефшецом ([Lefschetz 1], ср. пример 16.1.15).

По поводу истории и применений теории соответствий — которых мы и не пытались повторять здесь — мы рекомендуем обратиться к уже упомянутой энциклопедической статье, а также к работам [Zaris-ki 1], гл. VI и доп. В, [Severi 5], § 6, [Lefschetz 2], VIII, [Conforto 1] и [Baker 2], I, II. Недавно соответствия появились под маской операторов Гекке (ср. [Shimura 2], § 7, [Beligne 1]).

Материал § 16.1 представляет обычное применение стандартной теории пересечений; для кривых оно встречается в книге [Weil 4]. Вывод формул Пьери и Севери в примерах 16.2.1 и 16.2.4 из формул избыточного пересечения можно, видимо, рассматривать как первые современные доказательства.