А.4. Плоскость

Определение А.4. Гомоморфизм колец называется плоским, если каждая точная последовательность -модулей остается точной после тензорного умножения на В над А. В частности, тогда для любой -алгебры А расширение базы тоже плоское.

Лемма А.4.1. Предположим, что плоский локальный гомоморфизм. Тогда индуцированное отображение в сюръективно. Если нульмерные (артиновы), то

где максимальный идеал А.

Доказательство. В первом утверждении мы должны показать, что любой простой идеал является ограничением простого идеала из В. Так как плоско над можно предполагать, что Тогда любой ненулевой элемент а из А не является делителем нуля; в силу плоскости умножение на а остается инъективным на В. Возьмем теперь простой идеал в В, не содержащий образов ненулевых элементов из он ограничивается до нулевого идеала в А, что и требуется.

Во втором утверждении возьмем цепочку идеалов в А

Тогда

и

Поэтому по лемме

Лемма A.4.2. Пусть — точная последовательность плоских -модулей. Тогда для любого -модуля последовательность

точна.

Доказательство. Пусть заданный комплекс. Мы покажем индукцией по что при утверждение очевидно. Отобразим свободный -модуль на с ядром Получаются точные последовательности комплексов

Так как точней, длинная точная последовательность гомологий дает изоморфизмы

Предположение индукции, примененное к завершает доказательство.