В.8. Расслоения над погружаемыми схемами

В.8.1. Пусть X — схема, обладающая замкнутым вложением в неособую схему. Если когерентный пучок на X, то существует локально свободный пучок на X и сюръекция Если X квазипроективна, тензорное произведение на некоторое линейное расслоение порождается сечениями и поэтому в качестве можно взять сумму нескольких экземпляров § 55. В общем случае можно считать X неособым; тогда можно найти в виде суммы расслоений где дивизоры на Это результат Клеймана. Суть дела здесь в том, что для любого открытого аффинного покрытия схемы X дополнения являются носителями дивизоров. Подробности см. в работах [Borelli 1] или [SGA 6], II.2.2.6.

В.8.2. Пусть замкнутое вложение и схема обладает замкнутым вложением в неособую схему. Тогда над имеется векторное расслоение такое, что проекция пропускается через замкнутое вложение в В самом деле, пусть пучок локально свободен и сюръективно отображается на пучок идеалов .У подсхемы Тогда сюръективно отображается на а это дает вложение Теперь в качестве можно взять расслоение, пучок сечений которого двойствен к В частности, также обладает замкнутым вложением в неособую схему. В самом деле, если вложено в неособую схему то и по предыдущему вкладывается в проективное расслоение над которое неособо.

Гомоморфизм соответствует сечению 5 расслоения схема нулей которого совпадает с

В.8.3. Тот факт, что для неособой схемы X канонический гомоморфизм из является изоморфизмом, следует из нескольких фактов:

(i) Для любого когерентного пучка на неособом многообразии X существует локально свободный пучок и сюръекдия (В.8.1).

(ii) Если X — неособое -мерное многообразие и

— точная последовательность когерентных пучков на X, причем локально свободны, то и локально свободен. (Это утверждение локальное и следует из того факта, что конечно порожденный модуль над локальным регулярным кольцом имеет конечную свободную резольвенту, IV, теорема 8.)

(iii) Пусть О — локально свободная резольвента пучка сюръекдия пучков. Тогда существует согласованная резольвента пучка т. е. коммутативная диаграмма

с сюръективными вертикальными отображениями. (В качестве возьмем локально свободный пучок, сюръективно отображающийся на ядро канонического отображения Предположим, что мы уже построили диаграмму до ядро отображения ядро Тогда в качестве надо взять пучок, отображающийся на ядро канонического отображения

(iv) Пусть - как в (iii). Тогда ядра вертикальных отображений дают резольвенту для ядра отображения

(v) Скажем, что резольвента пучка доминирует резольвенту пучка если они связаны коммутативной диаграммой, как в с тождественным морфизмом Если даны две резольвенты «9 найдется третья резольвента, доминирующая эти две. (Рассуждения, как в (iii), ср. [Borel - Serre 1], лемма 11.)

Из (i) и (ii) следует, что любой когерентный пучок обладает конечной локально свободной резольвентой По класс

не зависит от резольвенты. Из (iv) следует, что сопоставление корректно определено на группе Гротендика Это дает гомоморфизм обратный к каноническому гомоморфизму Подробности см. [Borel - Serre 1] и [Borelli 1].