16.2. Иррегулярные неподвижные точки

Пусть неприводимое -мерное соответствие на -мерном многообразии Пусть раздутие вдоль диагонали Исключительный дивизор изоморфен проективизации касательного расслоения пусть обозначает проекцию на Пусть -собственный прообраз в -раздутие вдоль Точки из соответствуют некоторым касательным к X, называемым главными касательными. Так как —дивизор на он имеет чистую размерность

Слой над точкой может иметь любую размерность от до Если содержит весь слой точка называется совершенной неподвижной точкой. Любая изолированная неподвижная точка совершенна, однако может быть также конечное число совершенных неподвижных точек, лежащих на больших компонентах пересечения

Степень пересечения называется виртуальным числом неподвижных точек соответствия Следующее предложение связывает это число с геометрией Несколько классических формул такого типа даны в последующих примерах.

Предложение 16.2. Пусть универсальное факторрасслоение над проективным расслоением Тогда

Доказательство. Класс можно вычислять, пересекая в соответствии с предписанием § 6.1. Так как проективный нормальный конус к в доказываемый результат следует из предложения и примера

Пример 16.2.1 (ср. Если существует канонический морфизм

который переводит проективную касательную прямую в соответствующую вложенную касательную прямую в На самом деле продолжается до морфизма переводящего пару точек в прямую, соединяющую (ср. [Kleiman 8], V.B). Главные прямые в это образы при главных касательных

Определим индексы соответствия полагая

где общие линейные пространства в указанных размерностей. Эти индексы не что иное, как бистепени -цикла на

Пьери определяет ранги соответствия полагая

Таким образом, есть число совершенных неподвижных точек. Так как схема может не быть приведенной, эти ранги следовало бы понимать с учетом кратностей, например, так:

Пусть класс в представленный многообразием Шуберта прямых, пересекающих линейное пространство Тогда

Теорема Пьери. В этих обозначениях

Случаи и 3 были даны ем, Цейтеном и Шубертом. (Так как левая часть равна Так как где универсальное факторрасслоение на (§ 14.7), правая часть есть

В силу предложения 16.2 и замечания достаточно показать, что В самом деле, канонические сюръекции реализуют как факторрасслоение тривиального расслоения ранга определяется по свойству универсальности тем, что это факторрасслоение есть

Например, если замыкание графика проекции из подпространства в дополнительное пространство то главные прямые к точке — это прямые, соединяющие . В этом случае для для

В качестве применения возьмем В левой части стоит Предположим, что V пересекает изолированных точках, взятых с кратностями, а также теоретико-схемно по неособому многообразию размерности Тогда

где определяются следующим образом (ср. пример 12.3.6).

Фиксируем общую -плоскость L и общую -плоскость М. Тогда число точек в таких, что линейная оболочка касательных пространств к в пересекает Частные случаи этой формулы появлялись у Сальмона и Капорали. По поводу применений см. гл.

Теорему Пьери можно также вывести из формулы для пользуясь предложением 6.7.

Пример 16.2.2. Предложение 16.2 и его доказательство проходят для произвольной схемы чистой размерности давая формулу для в

Если то степень класса равна сумме индексов соответствия (бистепеней цикла В частности, каждое неприводимое соответствие размерности от на должно иметь неподвижные точки. Степень равна также сумме рангов определенных как в предыдущем примере. Если неприводимые компоненты то (теорема

Пример 16.2.3 (ср. Пусть и пусть есть -мерное соответствие на Для определим индекс соответствия так

(обозначения, как в примере 14.7.16). Тогда

где сумма берется по всем последовательностям (В самом деле,

как видно из пересечения сторон с Аналогичная формула верна для общих многообразий флагов.

Пример 16.2.4. Пусть X — поверхность и содержит кривую неподвижных точек. Севери с. 874, дал формулу для вклада в виртуальное число неподвижных точек, так что разность между ними равна числу совершенных неподвижных точек. Его формула имеет вид

Здесь степень виртуальный (арифметический) род если выбрать общую одномерную линейную систему кривых на X, то равно числу точек в С для общей кривой С из наконец, если подъем замыкание касательных к гладким точкам кривой то есть число точек которые касательны к любой кривой С из проходящей через

Это можно объяснить, включая случаи с появлением кратностей, следующим способом. Запишем

где совершенные неподвижные точки и каждая компонента конечно проектируется при на кривую в Пусть Тогда По формуле присоединения (пример 15.2.2)

Согласно примеру 3.2.19, если на то Формула Севери следует теперь из предложения 16.2;

Комбинация этих равенств дает формулу Севери в том случае, когда не имеет кратных компонент, а также показывает, как нужно интерпретировать эту формулу в общем случае.