Введение

Чтобы теория пересечений была полезной, мало построить кольцо классов циклов на неособом многообразии. Так, если подмногообразия неособого многообразия X, то произведение-пересечение должно быть классом эквивалентности алгебраических циклов, тесно связанных с геометрией взаимного расположения подмногообразий в Наиболее известны два крайних случая. Если пересечение собственное, т. е. то является линейной комбинацией неприводимых компонент с кратностями пересечений в качестве коэффициентов. В другом крайнем случае, когда неособое подмногообразие, формула самопересечения представляет как старший класс Чженя нормального пучка подмногообразия В обоих случаях представляется циклом на определенным с точностью до рациональной эквивалентности на Одним из следствий развиваемой ниже теории является построение произведения-пересечения как класса циклов на и формулы для вычисления независимо от размерностей компонент Такие классы мы называем тонкими произведениями. Аналогично устанавливаются другие формулы для пересечений, такие, как формулы Джамбелли — Тома — Портеуса для множества точек вырождения гомоморфизма векторных расслоений, которые отражают геометрию этого множества и охватывают случаи его избыточной размерности.

Чтобы дать представление о главной движущей силе книги, объясним кратко основную конструкцию, позволяющую строить такие утонченные классы. Пусть дано замкнутое регулярное вложение коразмерности d и морфизм где V — многообразие размерности к (или чисто -мерная схема). В этой ситуации основная конструкция дает класс рациональной эквивалентности -цикла на обозначаемый и называемый классом пересечения. Строится он следующим образом. Так как регулярное вложение, нормальный конус к является векторным расслоением; пусть обратный образ этого расслоения на Нормальный конус С к есть -мерная замкнутая подсхема в Используя длины локальных колец конуса С вдоль его неприводимых компонент как коэффициенты при этих неприводимых компонентах, мы получаем алгебраический -цикл на Остается положить равным

пересечению с нулевым сечением расслоения Этот класс представляется -циклом на для которого цикл рационально эквивалентен на где обозначает ограничение на

Три ситуации показывают полезность этой конструкции. (1) Пусть X — неособое многообразие размерности тогда диагональное вложение регулярно. Если декартово произведение подмногообразий из X, то мы получаем из предыдущей конструкции класс пересечения на В частности, это дает кольцевую структуру на множестве циклов на X с точностью до рациональной эквивалентности. (2) Пусть — эффективные дивизоры Картье на многообразии подмногообразие в тогда вложение в регулярно. Если диагональное вложение то рассмотренная конструкция дает класс циклов на Это полезно для исчислительной геометрии, где X параметризует геометрические фигуры, а гиперповерхности представляют «простые условия» на эти фигуры. (3) Пусть векторное расслоение ранга d над многообразием тогда любое сечение расслоения является регулярным вложением Применяя нашу конструкцию к ситуации, когда

— нулевое сечение, мы получаем класс на множестве нулей сечения 5, представляющий старший класс Чженя на На грассманианах и расслоениях флагов это используется для представления детерминантальньгх формул циклами на множествах вырождения.

Чтобы пользоваться основной конструкцией, нужно проверить некоторые свойства, не очевидные из приведенного описания. Например, если — также регулярное вложение, то выполняется свойство коммутативности: Это приводит к тому, что пересечения, образованные различными способами (например, упомянутыми выше способами и (2)), приводят к одним и тем же классам. Нужно также знать, что конструкция согласована с рациональной эквивалентностью. Более точно, если регулярное вложение коразмерности морфизм и алгебраический -цикл на то определим класс -циклов на формулой Если а. рационально эквивалентен , надо показать, что равен Аналогичное утверждение с заменой рациональной эквивалентности на алгебраическую утончает «принцип непрерывности». Третье важное свойство — функториальность (или ассоциативность) этой конструкции: если а регулярные вложения, то тоже регулярное вложение

и Гомоморфизмы утончают гомоморфизмы Гизина построенные Вердье.

Наконец, нужны формулы для этих классов. Любой конус С на схеме определяет класс Сегре в группе классов на Когда векторное расслоение, класс Сегре двойствен обратному к полному классу Чженя расслоения В ситуации основной конструкции верна формула

где обозначает -мерную компоненту заключенного в скобки выражения. Если вложение также регулярно, это дает формулу избыточного пересечения для Заменяя V его раздутием вдоль мы всегда можем прийти к такой ситуации. Другое основное свойство заключается в согласованности этих классов с прямыми образами при собственных морфизмах. Здесь становится очевидной важность того, что произвольный морфизм, а не только вложение, и что V может иметь произвольные особенности.

Основная конструкция, свойства и формулы основаны на совместной работе с Макферсоном и на работе Ж.-Л. Вердье. Первоначально эти работы опирались на теорию «колец Чжоу» для неособых квази-проективных многообразий, развитую Севери, Б. Сегре, Тоддом, Шевалле, Чжоу, Самюэлем, Вейлем, Гротендиком и др. Однако в статье [Fulton - MacPherson 1] было указано, как можно использовать основную конструкцию для построения теории пересечений с самого начала. Эта программа реализуется в гл. 1—8. Отметим, что для основной конструкции не нужна предварительная теория кратностей пересечений. В случае собственных пересечений класс пересечения автоматически определен как цикл, коэффициенты которого дают кратности пересечения, совпадающие с кратностями, введенными в работе [Samuel 1]. Хотя тонкие классы пересечений согласованы с вариацией в семействе циклов, нам не нужны ни лемма о сдвиге, ни предположение о хзазипроективности. В этом смысле наш подход близок к работе [Segre В. 4] и опирается на явные деформации и раздутия, а не на абстрактную лемму о сдвиге. Идеи, связанные с этой точкой зрения, были опубликованы также Жилле, Юанолу, Кингом, Ласку, Мамфордом, Муром и Скоттом. Работы Клеймана, Лаксова и Пина по теории пересечений оказали особое влияние на эту книгу.

Обзор содержания. Первая глава содержит определение группы классов рациональной эквивалентности алгебраических -циклов алгебраической схеме Здесь же проверяется, что естественное определение прямого образа цикла превращает в кевариантный

функтор для собственных морфизмов. Кроме того, для плоских морфизмов относительной размерности определяются гомоморфизмы обратного образа, увеличивающие размерность на Во второй главе изучается базисная конструкция в случае коразмерности 1, включая построение первого класса Чженя для линейного расслоения. В гл. 3 строятся классы Чженя векторного расслоения над алгебраической схемой X как гомоморфизмы а а из Для таких классов Чженя устанавливаются обычные формулы, с помощью которых доказывается изоморфизм где Первый класс Чженя используется также при построении класса Сегре конуса, изучаемого в следующей главе. Здесь же вводится понятие кратности схемы вдоль подмногообразия. В гл. 5 строится деформация в нормальный конус, т. е. рациональное семейство замкнутых вложений, содержащее исходное вложение и вложение нулевого сечения в нормальный конус к Существование такой деформации вместе с «принципом непрерывности» объясняет ключевую роль нормальных конусов при построении пересечений. Глава 6 содержит общую конструкцию и основные свойства произведений-пересечений и классов Она содержит также новую общую формулу для обратного образа цикла при моноидальном преобразовании.

Оставшаяся часть книги содержит достаточно независимые приложения первых шести глав. В двух следующих главах рассматривается частный случай собственных пересечений (кратности пересечений) и пересечения на неособых многообразиях. В гл. 9 мы доказываем теорему об остаточных пересечениях, более общую, чем известные. В обозначениях базисной конструкции пусть замкнутая подсхема схемы пересечения формула остаточного пересечения выражает класс пересечения в виде суммы некоторого класса на и класса на остаточном множестве таком, что Следуя работе [Laksov 3], мы применяем ее для получения общей формулы для двойных точек.

В гл. 10 рассматривается вариация классов пересечений в семействах, включая строгую форму принципа непрерывности. Разложение нормального конуса на неприводимые компоненты определяет разложение произведения-пересечения. Глава 11 включает инфинитезимальную конструкцию Лазарсфельда классов пересечений и его доказательство совпадения предыдущего разложения пересечения с разложением, получаемым динамическим методом в духе Севери.

Из нашей конструкции классов пересечений видно, что положительность или обильность нормального расслоения к приводит к

соответствующей положительности классов пересечений Подобные теоремы и приложения их к утонченной теореме Безу и неравенствам для кратностей пересечений обсуждаются в гл. 12; это результат совместной работы с Лазарсфельдом. Так как конструкция проходит над любым полем и порождает классы на интересующем нас уровне, она может использоваться для доказательства существования рациональных решений алгебраических уравнений

Одно из важнейших применений теории пересечений относится к формулам для множества вырождения. Комбинация нашего метода с идеями из работы [Kempf - Laksov 1] дает утончение обычных формул, порождая классы на интересующем нас множестве вырождения, и годится для многообразий с особенностями Из этих формул мы выводим классическое исчисление Шуберта. В гл. 15 геометрия деформации в нормальный конус используется для получения короткого концептуального доказательства теоремы Гротендика—Римана—Роха и формулы для раздутия классов Чженя. Основы алгебры соответствий включены в гл. 16; наши формулы пересечений приводят к классическим формулам Пьери и Севери для виртуального числа неподвижных точек соответствия в случае, когда множество неподвижных точек бесконечно.

В гл. 17 вводится бивариантный язык ([Fulton - MacPherson 3]). Он позволяет систематизировать и усилить технику гл. 1—8. Использование этого формализма позволило бы значительно сократить книгу, однако за счет пригодности ее как справочника для людей, незнакомых с таким формализмом. В гл. 18 бивариантный язык играет ключевую роль в анализе принадлежащей Макферсону граф-конструкции, которая позволяет распространить теорему Римана — Роха на особые квазипроективные многообразия в духе работ [Baum - Fulton - MacPherson 1] и [Verdier 5]. Кроме того, сюда включена недавняя совместная работа автора с Жилле, в которой теорема Римана — Роха освобождается от предположений о квазипроективности.

В гл. 19 показано, что сопоставление алгебраическому циклу на комплексном многообразии его класса гомологий согласовано с (тонкими) произведениями-пересечениями. Там же содержится краткий обзор сравнения рациональной, алгебраической, гомологической и численной эквивалентностей циклов на неособом проективном комплексном многообразии. Последняя глава намечает обобщения предыдущих глав на схемы над дедекиндовыми областями и над другими неалгебраическими базисными схемами. Упомянуты также кратности пересечений по Серру и формула Блоха, связывающая рациональную эквивалентность с высшей К-теорией.

Дополнение А содержит сведения по коммутативной алгебре, нужные для гл. 1—6, а также ссылки на некоторые факты, используемые позже. К этому дополнению можно обращаться по мере надобности, предварительное чтение его необязательно. Дополнение В — это глоссарий необходимых нам основных понятий и конструкций алгебраической геометрии. Мы надеемся, что, обращаясь время от времени к дополнению В, читатель сможет перекинуть мост между языком различных вводных курсов по алгебраической геометрии и языком этой книги. Там же отмечены некоторые специальные соглашения, принятые в книге. Ряд их стоит указать сразу, чтобы исключить недоразумения: схемы — это алгебраические схемы над произвольным полем многообразия — неприводимые и приведенные схемы; точки — замкнутые точки; подмногообразия и вложения предполагаются замкнутыми; циклы — алгебраические циклы, т. е. целочисленные линейные комбинации подмногообразий; неособые многообразия — многообразия, гладкие над плоские морфизмы предполагаются имеющими некоторую относительную размерность; обозначает проективное расслоение прямых в расслоении

Существенную часть книги составляют примеры в конце параграфов. Как и следует ожидать, они включают иллюстрации и частные случаи теорем, а также классические и современные приложения. В них же приводятся обобщения теорем или контрпримеры к возможным обобщениям. Некоторые примеры, вроде серии о пересечениях плоских кривых в гл. 1, включены для мотивировки дальнейшего развития. Если нет соответствующих указаний, утверждения из примеров достаточно непосредственно вытекают из предшествующего текста. Указания заключаются в скобки. Ссылки после «ср.» указывают, где можно найти аналогичные результаты, полученные часто другим способом. Ссылки без «ср.» или с более прямым «см.» указывают на тесную связь примера с источником, в котором можно подробнее ознакомиться с деталями. В вычислительных примерах молчаливо предполагается, что основное поле — алгебраически замкнутое поле нулевой характеристики; заинтересованный читатель может сделать необходимые изменения в положительной характеристике.

В конце каждой главы имеется параграф «Замечания и литература», содержащий некоторые исторические замечания к содержанию главы и попытки выявить истоки главных идей. Другие ссылки находятся в примерах. Хотя можно надеяться, что некоторое впечатление об интересной истории теории пересечений возникнет уже из этих примечаний и примеров, полный исторический анализ превосходит возможности книги и ее автора. По тем же причинам мы редко

обсуждаем степень соответствия упоминаемых классических работ современным стандартам строгости. Мы отсылали к другим обзорам, затрагивающим историю исчислительной геометрии, хотя и пытались отмечать важные вклады, о которых, быть может, не знают современные читатели. И в примечаниях, и в примерах упор делался на классических темах, таких, как формулы избыточного пересечения, тесно связанных с основной точкой зрения, проводимой в данной книге. Ссылки даются указанием в прямых скобках автора и номера работы, однако [Grothendieck - Dieudonne 1] заменяется более привычным [БОА], a [Berthelot - Grothendieck - Illusie et al. 1] - [SGA 6].

Список литературы также является лишь выборкой из огромной литературы по теории пересечений. Отсутствие тех или иных тем или работ можно объяснить, как обычно, недостатком места, но, скорее всего, оно вызвано некомпетентностью автора.