1.3. Циклы и рациональная эквивалентность

Пусть X — алгебраическая схема, k-циклом на X называется конечная формальная сумма 2 где суть -мерные подмногообразия в X, а — целые числа. Группа -циклов на X обозначается через Это свободная абелева группа, порожденная -мерными подмногообразиями схемы подмногообразию соответствует цикл

Для любого -мерного подмногообразия и любого определим -цикл на X

где сумма берется по всем подмногообразиям коразмерности -функция порядка на определяемая локальным кольцом

-цикл а рационально эквивалентен нулю, а если существует конечное число -мерных подмногообразий таких, что Так как рационально эквивалентные нулю циклы образуют подгруппу группы Группой k-циклов по модулю рациональной эквивалентности на X называется факторгруппа

Определим (соотв. ) как прямую сумму групп (соотв. ) для Цикл (соотв. класс циклов) на X — это элемент из (соотв. из Более классическое определение группы дается в § 1.6.

Если — целое число, то обозначает компоненту а в Таким образом,

Цикл положителен, если он ненулевой и все его коэффициенты положительны. Класс циклов положителен, если он представляется положительным циклом.

Пример Схема X и ее приведенная подсхема имеют одни и те же подмногообразия; поэтому их группы циклов и классов циклов канонически изоморфны:

(b) Если X — дизъюнктное объединение схем то и

(с) Если замкнутые подсхемы в X, то существует точная последовательность

(См. пример 1.8.1 для обобщения.)

Пример 1.3.2. Если схема -мерна, то свободная абелева группа, порожденная -мерными неприводимыми компонентами схемы Вообще любые два рационально эквивалентных цикла на X содержат любую неприводимую компоненту X с одним и тем же коэффициентом. (В самом деле, цикл вида не может включать неприводимую компоненту Для любого а и любой неприводимой компоненты V схемы X определим коэффициент компоненты V в а как коэффициент при в любом цикле, представляющем а.