Замечания и литература

Несколько ссылок на трансцендентную теорию алгебраических циклов были включены в текст и примеры. В качестве общих обзоров мы рекомендуем работы [Griffiths 3,4], [Griffiths - Harris 1], [Carlson - Green - Griffiths - Harris 1], [Hartshorne 4] и [Kleiman 2].

Хотя использование топологии и гомологий на алгебраических многообразиях можно отнести к Риману и Пуанкаре, только Лефшец развил симплициальную теорию для пересечения классов гомологий на ориентированных многообразиях и применил ее к классам алгебраических подмногообразий комплексного алгебраического многообразия (ср. [Lefschetz 2]). Эта теория опирается на триангулируемость комплексных многообразий (ср. [Hironaka 2]). В статье [Borel - Haefliger 1] используются относительные когомологии и гомологии Бореля — Мура для построения отображения цикла и дается современное доказательство совпадения алгебраических и топологических пересечений. Уточнения даны в работах [Atiyah - Hirzebruch 2] и [Douady 1].

В параграфах 19.1 и 19.2 эти результаты распространяются на тонкие пересечения на неособых многообразиях и на локально полные пересечения на особых многообразиях. Эти результаты выросли из работ [Baum - Fulton - MacPherson 1], [Fulton - MacPherson 1, 3], [Deligne 2] и других источников, цитированных в конце § 19.2.

В некоторых из этих источников пересечения строятся как на комплексных аналитических, так и на алгебраических многообразиях. В других используется техника дифференциальных форм, вычетов, потоков и ядерных функций, чтобы дать более или менее явные аналитические формулы для классов циклов. В частности, Кинг ([King 3]) дал аналитический вариант формулы избыточного пересечения до того, как эта формула появилась в современной алгебраической геометрии. Другие ссылки в связи с аналитическим подходом: [Draper 1],

Гомологии Бореля — Мура являются естественной теорией гомологий при работе с некомпактными алгебраическими или аналитическими многообразиями. По поводу общего теоретико-пучкового подхода можно сослаться, кроме оригинальной статьи [Borel - Moore 1], на работы [Verdier 1], [Douady - Verdier 1] или [Iversen 4]. Так как эта теория также естественно появляется в теории гомологий пересечения Горески и Макферсона [Goresky - MacPherson 1, 2], нам представляется, что эта теория скоро станет более известной и, возможно, появится в стандартных топологических текстах.

Многие результаты, обсуждавшиеся в этой главе, выполняются для многообразий над произвольным алгебраически замкнутым полем, если классические гомологии и когомологии заменить на этальные. По этому поводу мы отсылаем к книге [Deligne 2] и статьям Ломо и Вердье в семинаре [Douady - Verdier 1]. Гротендик и Кац распространили пример Гриффитса (§ 19.3.3) в характеристику ([Deligne - Katz 1], XX). Основные факты о дивизорах (§ 19.3.1) получены в абстрактном случае Мацусакой и Вейлем (ссылки см. в примере 19.3.3). В работах [Bloch 3] и [Milne 1] теорема Ройтмана (§ 19.3.5) распространена в характеристику

Обсуждение связей алгебраических циклов с -теорией и теорией чисел см. в лекциях [Bloch 4], содержащих также много фактов -циклах.