9.3. Формула двойных точек

Пусть — морфизм неособых многообразий ухазанных размерностей, причем X полно. Тогда содержит и остаточное множество есть множество пар двойных точек, которое мы обозначим Пусть раздутие вдоль проекция исключительный дивизор. Пусть индуцированный морфизм Схема двойных точек определяется как остаточная схема к в Как в § 9.2, имеет место диаграмма

Можно проверить (ср. [Fulton - Laksov 1], предложение 4), что точки схемы это пары различных точек из X, таких, что а также касательные направления в которые обращаются в нуль при касательном отображении. По определению Определим множество двойных точек как образ при первой (или второй) проекции Пусть индуцированный морфизм

Определим как класс остаточного пересечения по формуле из теоремы 9.2. Если имеет ожидаемую коразмерность то Определим, наконец, класс двойных точек как

Теорема 9.3 (формула двойных точек). В приведенных обозначениях

Доказательство. Так как то по следствию 9.2.3

Пусть : первая проекция; применим к этому равенству. Первый член справа проектируется в

второй — в Поэтому достаточно показать, что

Для этого напомним, что где график вложения X в Рассмотрим расслоенную диаграмму

По теореме

Пример 9.3.1. Если - замкнутое вложение, то и указанная формула сводится к формуле самопересечения. Из формулы самопересечения видно, что правая сторона формулы двойных точек обращается в нуль на и поэтому приходит из некоторого гсласса на Остаточная конструкция дает такой класс явно.

Пример 9.3.2. Если отображает X бирационально на его образ то

где подсхема в X, определяемая кондуктором многообразия Это можно проверить по индукции, сравнивая обе части для

где раздутие в особой точке X (подробности см. в работе [Fulton 6], § 4). Аналогичная формула для конечного морфизма осуществляющего бирациональный изоморфизм на образ, пока не доказана, хотя из теоремы 9.3 или из статьи [Kleiman 8] следует, что эти циклы рационально эквивалентны на Пример из работы [Artin - Nagata 1] (ср. [Fulton 6], § 2.4) показывает, что кондуктор и могут не совпадать при

Пример 9.3.3. Пусть нодальная кривая и X — нормализация С. Формула двойных точек для индуцированного морфизма дает классическую формулу

связывающую количество d нодальных точек, степень кривой С и род кривой X.

(b) - инъективное отображение с факторрасслоением На самом деле

где дивизор двойных точек на X.

(c) Нодальные точки на С накладывают независимые условия на кривые степени (Достаточно проверить это для к Векторное пространство кривых степени проходящих через нодальные точки, — это подпространство

Ясно, что и это число есть согласно (а).)

(d) Линейная система высекаемая кривыми степени проходящими через нодальные точки С, полна. (Размерность пространства таких кривых равна

что равно как и предписывает теорема Римана — Роха (пример 15.2.1). Согласно (b), расслоение неспециально.)

Пример 9.3.4. Пусть конечный морфизм неособых многообразий, и предположим, что множества

имеют размерность не больше Пусть множество двойных точек, снабженное структурой приведенной схемы. Тогда

(Пусть Достаточно показать, что совпадают на Но над гладкое и изоморфно отображается в

Пример 9.3.5. Пусть неособая гиперповерхность в неособом многообразии Пусть X — раздутие X вдоль некоторого неособого многообразия и исключительный дивизор. Тогда есть множество двойных точек для индуцированного морфизма имеет ожидаемую коразмерность. Однако имеет неправильную коразмерность и на самом деле цикл отрицателен.

Пример 9.3.6 (ср. [Johnson 1], [Fulton - Laksov 1]). Пусть то же, что и раньше, но особое многообразие. Та же процедура дает класс двойных точек и

Пример 9.3.7. Пусть морфизм неособых полных многообразий над алгебраически замкнутым полем К характеристики 2. Предположим, что отображает X конечно и бирационально на его образ Предположим также, что все особенности обыкновенные, т. е. особенности гиперповерхности X образуют кривую с конечным числом тройных точек и конечным числом точек возврата Пополнение локального кольца гиперповерхности X изоморфно

Кривая неособа всюду, кроме тройных точек. Двойная кривая неособа всюду, кроме тройных точек лежащих над тройными точками кривой каждая точка нодальна на Имеется по точке на отображающейся в Индуцированное отображение двулистное с простым ветвлением в точках (Локальное аналитическое уравнение для в точках возврата имеет вид

Пусть — подсхема особенностей гиперповерхности X: если локальное уравнение для то определяется обращением в нуль трех частных производных более инвариантно, идеал есть второй идеал Фиттинга (ср. [Piene 4]). Пусть Тогда содержит и остаточная схема к в есть приведенная схема точек возврата Из предложения 9.2 получаем

В силу формулы двойных точек (ср. пример 9.3.2)

Кроме того,

(Для доказательства рассмотрим сначала случай, когда тройных точек нет. Тогда неособы, и по формуле об избыточном пересечении (и следствию 8.1.1)

Последнее равенство получается из формулы ветвления (пример 3.2.20 или 9.3.12). Вместе с (b) это дает (с). В общем случае пусть (соотв. ) раздутие X в (соотв. в ). Применим предыдущий случай к индуцированному отображению замечая, что

для или Остается использовать предложение 6.7 для вычисления Отсюда следует, что

Поэтому, согласно предложению

Пример 9.3.8. Пусть как в предыдущем примере, но Согласно примеру 4.4.3, степень двойственного к X

многообразия равна

где степень Вместе с примером 9.3.7 это дает классическую формулу

для степени двойственного многообразия, где степень двойной кривой число тройных точек и точек возврата на (По поводу другого доказательства, обобщений, истории и примеров см. [Piene 2].)

Пример 9.3.9. Если в предыдущем примере двойная кривая X является прямой, то на ней расположены точек возврата и степень двойственного к ней многообразия равна

Пример 9.3.10. Пусть X — поверхность в с уравнением Двойная кривая — прямая с двумя точками возврата, так что степень двойственного к ней многообразия равна

На самом деле двойственное к X многообразие изоморфно

Пример 9.3.11 (ср. [Salmon 1]). Пусть основное поле — алгебраически замкнутое поле характеристики 0. Пусть неприводимая поверхность, задаваемая уравнением степени d. Для точки полярной поверхностью к X относительно называется поверхность степени задаваемая уравнением

Точка принадлежит тогда и только тогда, когда (проективное) касательное пространство к проходит через Если две общие точки пространства то

где множество особенностей конечное множество неособых точек таких, что касательная плоскость к проходит через Число точек в равно степени двойственной к X

поверхности. Если X имеет обыкновенные особенности, как в предыдущем примере, вклад особой кривой в пересечение равен

где степень этой кривой, число тройных точек, число точек возврата.

Пример 9.3.12. Формула ветвления. Пусть как в этом параграфе, и Определим класс по формуле

Пусть -образ прямой образ называется классом ветвления. Тогда

(По теореме 9.2

где индуцированный морфизм из Пересечем обе части дивизором и спроектируем в Если то откуда получается формула

Если то и формула превращается в

(см. пример 3.2.30).) Как в примере 9.3.6, это распространяется на случай особого

Пример 9.3.13 ([Johnson 1]). Пусть подмногообразие в общая линейная проекция. Пусть класс двойных точек и класс ветвления проекции гиперплоское сечение. Тогда

(Это формальное вычисление, использующее теорему 9.3 и пример 9.3.12.) Если и проекция в неразвегвлена, из следует, что тогда она — вложение. Это замечательное открытие вызвало развитие общей теории, включающей доказательство того, что произвольный морфизм проективного неприводимого

многообразия при может быть неразветвленным только в том случае, когда он является вложением ([Fulton - Hansen 1]). Например, число точек возврата в примере 9.3.8 положительно, если поверхность особа.

Недавно Хансен дал геометрическое объяснение тождества

Пример 9.3.14. Пусть такое же, как всюду в этом параграфе, и пусть будет образом в множества двойных точек. Тогда в имеется класс такой, что прямой образ при каноническом отображении равен

Это можно показать при помощи другой конструкции следующей работе Для неособого многообразия V пусть обозначает раздутие вдоль Пусть Существуют вложения и индуцированные графиком вложения и диагональным вложением Тогда есть класс пересечения и на (Если проекция то есть остаточная схема к исключительному дивизору это следует из дополнения примененного к вложениям индуцированным диагональными вложениями Тот факт, что где вложение следует из построения Теорема 17.6 дает общую формулу, из которой следует эта.)

Для неособого V пусть будет фактормногообразием многообразия по инволюции, переставляющей сомножители, т. е. схема Гильберта подсхем длины 2 в . Как и раньше, имеются вложения и можно построить их класс пересечения Так как отображение факторизации имеет степень переходит в (по теореме 6.2). Если определить как прямой образ при проекции на то будет нужным классом на

По поводу аналогичного подхода к формулам для точек более высокой кратности см. [Ran 2].