15.4. Раздутие классов Чженя

Для неособого многообразия X пишем вместо Рассмотрим диаграмму раздутия

где а поэтому и неособые. Наша цель — сравнить Пусть -нормальное расслоение к ранга отождествим так что Пусть - универсальное факторрасслоение над пусть

Лемма 15.4. Имеются точные последовательности

Первые три — последовательности векторных расслоений над четвертая — последовательность пучков на

Доказательство, (i) есть универсальная точная последовательность над проективным расслоением Последовательность (ii) получается из точной последовательности, дающей относительное касательное расслоение над проективным расслоением (дополнение

при отождествлении с ядром Последовательность (iii) представляет обычную связь между касательным и нормальным расслоением (дополнение По поводу (iv) заметим, что изоморфизм вне X, так что это мономорфизм

пучков. Для доказательства (iv) достаточно отобразить так, чтобы последовательность

была точной на Для этого рассмотрим диаграмму

с точными строками. Первое вертикальное отображение сюръективно по третье инъективно с коядром по (i). Нужное нам отображение — композиция

а требуемая точность просто получается диаграммным поиском.

Применим формулу Римана — Роха без знаменателей к векторному расслоению на X и вложению :

По утверждению (iv) леммы Поэтому

Согласно утверждениям (iii) и (ii) той же леммы

По определению имеем

или

где правая часть обозначает результат формального деления на (ср. пример 15.3.4). Из точной последовательности (i) и тензорного умножения ее на (1) получаем

Комбинируя (2), (3) и (4), получим

Теорема 15.4. В приведенных выше обозначениях при

где

В этом выражении член в скобках нужно представить как многочлен от и затем формально поделить на

Доказательство. Это следует из (1), (5) и равенства

из замечания

Пример 15.4.1. Формулу для а можно записать явно:

где полагается равным нулю при Если понимать канонический класс неособого многообразия V как теорема 15.4 вместе с формулой для а принимает вид, похожий на то, что предполагал Тодд

Пример 15.4.2. Предположим, что для некоторых классов Например, если есть ограничение некоторого векторного расслоения над то Пусть Тогда

где

(Так как то где а такое же, как в теореме. Применим теперь формулу проекции.) Используя, что это можно переписать так:

Если

Это так, в частности, если -точка. Тогда для любого а так что

Пример 15.4.3. Приравнивая члены степени 1, получаем

Это обычная формула, связывающая канонические дивизоры на и :

Для членов степени 2 получаем

Если

(Во втором равенстве надо использовать предложение 6.7.)

Пример 15.4.4. Пусть -неособая проективная поверхность, и пусть на X имеется пучок Лефшеца. То есть все кривые этого пучка неособые рода кроме d кривых, которые имеют лишь по одной обыкновенной нодальной точке; в каждой из а базисных точек все кривые предполагаются неособыми и пересекающимися трансверсально. Инвариант Цейтена — Сегре I определяется так:

Тогда (Если X — раздутие X в базисных точках пучка, то а по примеру Пучок задает морфизм X в согласно примеру 14.1.5.) В частности, I не зависит от выбора пучка.

В обозначениях примера 15.2.2 положим Тогда равенство примера 15.2.2 эквивалентно формуле Нётера (ср. [Noether 1]):

Пример 15.4.5. Для замкнутых вложений комплексных многообразий ГРР доказана в работе [Atiyah - Hirzebruch 3]. Приведенное здесь доказательство годится и в аналитическом случае. Верна и так же доказывается аналогичная формула для раздутия классов Чженя (теорема 15.4), когда произвольные комплексные многообразия, а классы Чженя принимают значения в сингулярных целочисленных когомологиях.