B.2. Морфизмы

В.2.1. Морфизм алгебраических схем предполагается согласованным со структурными морфизмами в где К — основное поле. Если отображает аффинное открытое подмножество в аффинное открытое подмножество то соответствует гомоморфизму -алгебр.

Тождественный морфизм схемы X обозначается или просто 1. Композиция морфизмов и обозначается или .

В.2.2. Морфизм многообразий называется доминантным, если его образ плотен в эквивалентно, можно сказать, что индуцированный гомоморфизм описанный выше, инъективен. Если морфизм и V — подмногообразие в X, то существует единственное подмногообразие такое, что доминантно отображает V в в этом случае индуцирует локальный гомоморфизм

Индуцированный гомоморфизм полей вычетов вкладывает Если то конечное расширение поля

Морфизм многообразий бирационален, если он доминантен и изоморфно отображает на Более общо, морфизм схем называется бирациональным, если имеют одно и то же число неприводимых компонент, каждая компонента схемы X доминантно отображается в свою компоненту У) схемы и индуцированные морфизмы являются изоморфизмами.

В.2.3. Если морфизмы, расслоенное произведение над обозначается Если аффинные схемы с координатными кольцами аффинная схема с координатным кольцом в общем случае склеивается из таких аффинных схем Расслоенное произведение снабжено проекциями

Для любой схемы и морфизмов таких что существует единственный морфизм, обозначаемый из такой, что Это свойство универсальности

характеризует с точностью до канонического изоморфизма.

Коммутативная диаграмма

называется расслоенным квадратом, если есть расслоенное произведение а канонические проекции. В расслоенной диаграмме все всречающиеся квадраты предполагаются расслоенными.

Если где К — основное поле, мы пишем вместо и называем это декартовым произведением схем

Если морфизм и замкнутая подсхема схемы ее прообразом называется расслоенное произведение . Если — пучок идеалов подсхемы в то задается пучком идеалов Если замкнутое вложение, есть схема пересечения как замкнутая подсхема в она задается суммой пучков идеалов для замкнутые подсхемы схемы мы обозначаем через или подсхему в заданную суммой пучков идеалов всех

Морфизм отделим, если диагональный морфизм является замкнутым вложением. См. в [EGA], II.7.2, или валюативный критерий отделимости. Алгебраическая схема отделима, если отделим структурный морфизм в При желании читатель может предполагать, что все схемы и морфизмы отделимы.

В.2.4. Морфизм называется собственным, если он отделим и универсально замкнут, т. е. для любого морфизма индуцированный морфизм переводит замкнутые множества в замкнутые множества. См. в [EGA], II.7.3, или валюативный критерий собственности.

Схема называется полной, если структурный морфизм в собственный.

Морфизм называется конечным, если для любого открытого аффинного подмножества обратный образ аффинный и индуцированный гомоморфизм координатных колец

превращает в конечно порожденный Конечный морфизм собственный и имеет конечные слои (верно и обратное,

Если собственный сюръективный морфизм многообразий, то разлагается в композицию где морфизм имеет связные слои, конечен. Если существует непустое открытое подмножество в X, которое изоморфно отображается на открытое подмножество в (Эти факты, доказанные в [EGA], III.4.3.1, III.4.4.1, используются только в доказательстве из § 1.4 и в гл. 20.)

В.2.5. Морфизм плоский, если для любых аффинных открытых множеств индуцированный гомоморфизм превращает в плоский -мо-дуль. Эквивалентно можно сказать, что для любого подмногообразия

кольцо является плоским -модулем.

Морфизм имеет относительную размерность если для любого подмногообразия и любой неприводимой компоненты V прообраза Если морфизм плоский, неприводимая схема и X имеет чистую размерность, равную то имеет относительную размерность как и любая замена базы

Соглашение. В основном тексте, если не оговорено противное, предполагается, что все плоские морфизмы имеют относительную размерность.

В.2.6. Многообразие называется нормальным, если координатное кольцо любого аффинного открытого подмножества целозамкнуто в его поле функций. Любое многообразие X обладает нормализацией, т. е. нормальным многообразием X вместе с конечным бирациональным морфизмом Если X — аффинное многообразие с координатным кольцом А, то X — аффинное многообразие с координатным кольцом — целым замыканием В общем случае X строится склеиванием таких аффинных нормализаций ([EGA], II.6.3.8).

В.2.7. Если морфизм, пучок относительных дифференциалов обозначается В случае когда мы пишем просто Если морфизм, на X имеется точная последовательность пучков

Скажем, что морфизм гладкий, если плоский морфизм относительной размерности локально свободный пучок ранга Тогда и для любой замены базы индуцированный морфизм будет гладким относительной размерности

Схема X называется неособой или гладкой, если она гладкая над Такая схема представляет непересекающееся объединение неприводимых -мерных многообразий для некоторого Простая точка схемы — это точка, обладающая открытой окрестностью, гладкой над

Соглашение. Если не сказано противное, гладкий морфизм предполагается отделимым. Неособая схема предполагается неприводимой.

Пусть гладкий морфизм относительной размерности Относительным касательным расслоением называется векторное расслоение, пучок сечений которого двойствен пучку (дополнение В. 3.2). Если мы пишем просто и называем его касательным расслоением схемы